新教材人教版高中数学必修第二册分层作业13《正弦定理(2)》(含解析)

课时分层作业(十三) 正弦定理(2)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在△ABC中，若＝，则C的值为(  )A．30°   B．45°   C．60°   D．90°B [由正弦定理得，＝＝，则cosC＝sinC，即C＝45°，故选B.]2．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则(  )A．b＝1，c＝B．b＝，c＝1C．b＝，c＝1＋D．b＝1＋，c＝A [∵＝＝＝＝2，∴b＝1，c＝.]3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝(  )A.B.C.D．1B [在△ABC中，由正弦定理＝，得sinB＝＝＝.]4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsinA，则sinB＝(  )A.B.C.D．－B [由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以sinA＝sinBsinA，故sinB＝.]5．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(  )5 A.B.C.D．2B [由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC得＝2R＝＝＝.]二、填空题6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是(填序号)．①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．④ [①中a＝bsinA，有一解；②中csinBb且A＝120°，有一解．综上，④正确．]7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于.2 [在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sinC＝2.]8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝. [在△ABC中由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，由正弦定理得b＝＝.]三、解答题9．在△ABC中，求证：＝.5 [证明] 因为＝＝＝2R，所以左边＝＝＝＝＝右边．所以等式成立．10．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径．[解] 由正弦定理知＝，∴＝.即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.又∵a≠b且A，B∈(0，π)，∴2A＝π－2B，即A＋B＝.∴△ABC是直角三角形且C＝，由得a＝6，b＝8.∴内切圆的半径为r＝＝＝2.[等级过关练]1．在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是(  )A．[3，6]      B．(2,4)C．(3，4)D．(3,6]D [∵A＝，∴B＋C＝π.∴AC＋AB＝(sinB＋sinC)5 ＝＝2＝6sin，∴B∈，∴B＋∈，∴sin∈，∴AC＋AB∈(3,6]．]2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为(  )A.，B.，C.，D.，C [∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，∴tanA＝，又∵A∈(0，π)，∴A＝，由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，即sinC＝1，∴C＝，B＝.]3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是.(1，] [∵a＋b＝cx，∴x＝＝＝sinA＋cosA＝sin.5 ∵A∈，∴A＋∈，∴sin∈，∴x∈(1，]．]4．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝. [由正弦定理，得＝，即sinC＝＝＝.可知C为锐角，∴cosC＝＝.∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin60°·cosC－cos60°·sinC＝.]5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.(1)求角C的大小；(2)求sinA－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小[解] (1)由正弦定理及已知条件得sinCsinA＝sinAcosC．因为0