新教材人教版高中数学必修第二册分层作业9《平面向量数量积的坐标表示》(含解析)

课时分层作业(九)平面向量数量积的坐标表示(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为()A.5B．－5C．1D．－1a·b3－8D[向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为：＝＝－1，|b|5故选D.]2．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝()A．3＋10B．3－10C．3±10D．－3±10C[∵a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，∴a＋c＝(1＋m，m)，a－b＝(－1，m－5)，∵(a＋c)⊥(a－b)，∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得：m＝3±10.]3．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于()A．23B．57C．63D．83D[因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.]4．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sinθ等于()1013104A.B.C.D.103105A[设b＝(x，y)，则a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，2＋3x＝5，x＝1，所以解得1＋3y＝4，y＝1，1 即b＝(1,1)，a·b3所以cosθ＝＝，|a||b|10210所以sinθ＝1－cosθ＝.]105．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于()A．(2,1)B．(1,0)31，C.22D．(0，－1)A[设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，x－1y＋1因为(c－a)∥b，所以＝，即2x－y－3＝0.12x－y－1＝0，x＝2，由解得所以c＝(2,1)．]2x－y－3＝0，y＝1，二、填空题6．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________.－1或2[已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，根据向量的坐标运算公式得x2－x－2＝0，解得x＝－1或2.]7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．19[ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]8．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．465－[不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标65系，2 则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a＋b|＝26，|a－b|＝10，－8465所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.]26·1065三、解答题9．已知向量a，b满足|a|＝5，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.(1)求向量a的坐标；(2)求向量a与b的夹角．[解](1)设a＝(x，y)，因为|a|＝5，则x2＋y2＝5，①又因为b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b，2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)，所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②x＝1，x＝－2，由①②解得或y＝2y＝1，所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)．(2)设向量a与b的夹角为θ，a·b1，2·1，－32a·b所以cosθ＝＝＝－或cosθ＝＝|a||b|1＋221＋－322|a||b|－2，1·1，－32＝－，1＋221＋－3223π因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角θ＝.4→→10．在△ABC中，AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．3 →→[解]∵AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，→→→∴BC＝AC－AB＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，→→则AB·AC＝2×1＋3×k＝0，2∴k＝－；3→→若∠B＝90°，则AB·BC＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，11∴k＝；3→→若∠C＝90°，则AC·BC＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，3±13∴k＝.22113±13综上，k的值为－或或.332[等级过关练]1．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A．λ＞1B．λ＜1C．λ＜－1D．λ＜－1或－1＜λ＜1D[由题意可得：a·b＝λ－1＜0，解得：λ＜1，且a与b的夹角不能为180°，1－1即≠，∴λ≠－1，据此可得λ的取值范围是λ＜－1或－1＜λ＜1.]λ12．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P→→是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为()A．3B．5C．7D．8B[如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设→DC＝a，DP＝x，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，P(0，x)(0≤x≤a)，则PA4 →＋3PB＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a－4x)，→→所以|PA＋3PB|＝25＋3a－4x2≥5.]→→3．如图所示，已知点A(1,1)，单位圆上半部分上的点B满足OA·OB＝0，则→向量OB的坐标为________．22－，22[根据题意可设B(cosθ，sinθ)(0＜θ＜π)，→→OA＝(1,1)，OB＝(cosθ，sinθ)．→→由OA·OB＝0得sinθ＋cosθ＝0，tanθ＝－1，3π3π23π2所以θ＝，cos＝－，sin＝，44242→22－，所以OB＝22.]→→→→4．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上存在一点P使AP·BP有最小值，则点P的坐标是________．→→(3,0)[设点P的坐标是(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，→→所以AP·BP＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，→→当x＝3时，AP·BP取得最小值，故点P的坐标为(3,0)．]5．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成5 的锐角的余弦值．[解](1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，→→∴AB＝(1,1)，AD＝(－3,3)，→→又∵AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，→→∴AB⊥AD，即AB⊥AD.→→(2)AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，→→∴AB＝DC.→→设C点坐标为(x，y)，则AB＝(1,1)，DC＝(x＋1，y－4)，x＋1＝1，x＝0，∴得y－4＝1，y＝5.∴C点坐标为(0,5)．→→由于AC＝(－2,4)，BD＝(－4,2)，→→所以AC·BD＝8＋8＝16＞0，→→|AC|＝25，|BD|＝25.→→设AC与BD夹角为θ，则→→AC·BD164cosθ＝→→＝＝＞0，205|AC|·|BD|4∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.56