新教材人教版高中数学必修第二册分层作业30《直线与平面垂直》(含解析)

课时分层作业(三十) 直线与平面垂直(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(  )A．相交        B．平行C．异面D．相交或平行B [由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．]2．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于(  )A．40°   B．50°   C．90°   D．150°B [根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.]3．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(  )A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定D [如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.]4．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(  )5 A．异面B．平行C．垂直D．不确定C [∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.]5．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的(  )A．内心B．重心C．外心D．垂心C [如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．]二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝.6 [因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.]7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．5 4 [∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．]8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为．2 [因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.]三、解答题9．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.[证明] ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.5 又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分别是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．[解] 过A作AH⊥BC于H，连接PH，∵PC⊥平面ABCD，AH⊂平面ABCD，∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，∴H为BC中点，AH＝，∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，∴sin∠APH＝＝.故PA与平面PBC所成角的正弦值为.[等级过关练]1．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(  )5 A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交C [取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.]2．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长和两条对角线AC，BD都相等，且E为AD的中点，F为BC的中点，则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为． [连接EF，根据题意，BC⊥AF，BC⊥DF.∵AF∩DF＝F，∴BC⊥平面ADF.∴∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角，设BC＝2，则BF＝1，BE＝，∴sin∠BEF＝＝.]5