新教材人教版高中数学必修第二册分层作业22《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》(含解析)

课时分层作业(二十二)　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.C　[∵VCA′B′C′＝VABCA′B′C′＝，∴VCAA′B′B＝1－＝.]2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)A．48B．64C．16D．96[答案]　B3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于(　　)A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3B　[两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B.]4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(　　)A.B.C.D.A　[如图所示，正方体的A′、C′、D、B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，5 则正四面体边长为a.∴正方体表面积S1＝6a2，正四面体表面积为S2＝4××(a)2＝2a2，∴＝＝.]5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是(　　)A.＝＋B.＝＋C.＝＋D.＝C　[由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h′，则根据条件得，，消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，∴z(x＋y)＝xy，∴＝＋.]二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为．　[设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.]7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是，体积是．5 　　[S表＝4××12＝，V体＝·×12×＝.]8．长方体ABCDA1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为．　[把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.①　　　　　②　　　　　　　③由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为.]三、解答题9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．[解]　以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则∴∵VDABE＝DE·S△ABE＝V长方体，同理，VCABF＝VDACG＝VDBCH＝V长方体，∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体．而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.5 10．如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．[解]　如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴·3a·h′＝a2×2.∴a＝h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋2＝h′2.∴h′＝2，∴a＝h′＝6.∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.[等级过关练]1．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是．8　[如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.5 图①　　　　　　　　图②　]2．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．[解]　如图，连接EB，EC.四棱锥EABCD的体积V四棱锥EABCD＝×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥FEBC＝V三棱锥CEFB＝V三棱锥CABE＝V三棱锥EABC＝×V四棱锥EABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥EABCD＋V三棱锥FEBC＝16＋4＝20.5