新教材人教版高中数学必修第二册分层作业24《球的表面积和体积》(含解析)

课时分层作业(二十四)　球的表面积和体积(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)A.倍　　　B.倍　　　C．2倍　　　D．3倍B　[设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.]2．把半径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为(　　)A．3cmB．6cmC．8cmD．12cmD　[由πR3＝π·63＋π·83＋π·103，得R3＝1728，检验知R＝12.]3．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)A．2πB．3πC．4πD．6πB　[由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，S＝π×12＋×4×π×12＝3π.]4．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为(　　)A.B.C.D．4πB　5 [根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝πr3＝.]5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)A．πB.C.D.B　[设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝＝.∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.故选B.]二、填空题6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为．3　[设此球的半径为R，则4πR2＝πR3，R＝3.]7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为．33π　[由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S＝×4π×32＋π×3×5＝33π.]8．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．5 　[设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.∴＝＝.]三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解]　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.10．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．[解]　因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，5 所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，设O′C＝r，OC＝R，则球半径为R，截面圆半径为r，在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝＝，所以∠O′CO＝30°，所以＝cos30°＝，即R＝r，(*)又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10.所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(10)2＝1200π.球的体积为V＝πR3＝π×(10)3＝4000π.[等级过关练]1．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为(　　)A．4∶3　　　B．3∶1　　　C．3∶2　　　D．9∶4C　[作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h＝3R，圆锥底面半径r＝R，则l＝＝2R，所以＝＝＝.]2．在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是.　[当球的半径最大时，球的体积最大.在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC5 ＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝＝2，直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V＝.]5