新教材人教版高中数学必修第二册分层作业31《平面与平面垂直》(含解析)

课时分层作业(三十一) 平面与平面垂直(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(  )A．0个        B．1个C．无数个D．1个或无数个D [当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．]2．下列不能确定两个平面垂直的是(  )A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线bD [如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角PBCA的大小为(  )A．60°B．30°C．45°D．15°5 C [由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角PBCA的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C.]4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(  )A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥βD [如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.]5．在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角BADC后，BC＝AB，这时二面角BADC的大小为(  )A．60°   B．90°   C．45°   D．120°A [∠BDC为二面角BADC的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°.]二、填空题6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.(用序号表示)①②⇒③ [由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.]7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝.5 1 [因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角BADC的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝，所以BC＝＝1.]8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是．45° [如图，过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.]三、解答题9．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.[证明] 因为PA⊥平面AC，CD⊂平面AC，所以PA⊥CD.因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD.10．如图所示，平面角为锐角的二面角αEFβ，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角αEFβ的大小．5 [解] 作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角αEFβ的平面角．又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝a，GH＝a，sin∠GBH＝＝.所以∠GBH＝45°，二面角αEFβ的大小为45°.[等级过关练]1．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于． [取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝＝.]5 2．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1EFC等于45°，则BF＝.1 [由题意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F.故∠C1FC为二面角C1EFC的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.]5