新教材人教版高中数学必修第二册课后巩固练习6.4.3《第1课时余弦定理》(含解析)

6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时 余弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,A=60°,则c=(  )                A.1B.2C.4D.6答案C解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去).2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-c2+b2=ab,则sinC的值为(  )A.B.C.D.答案C解析由余弦定理,得cosC=.因为C∈(0,π),所以C=,sinC=.故选C.3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,则下列等式正确的是(  )A.a=bcosC+ccosBB.a=bcosC-ccosBC.a=bsinC+csinBD.a=bsinC-csinB答案A解析bcosC+ccosB=b·+c·=a.4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,那么新三角形的形状是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定答案A解析设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三条边均增加同样的长度m,三边长度变为a+m,b+m,c+m,此时最长边为c+m,设该边所对角为θ,则由余弦定理,得cosθ=.因为m2>0,a+b-c>0,所以cosθ>0,所以θ为锐角,其他各角必为锐角,故新三角形是锐角三角形.5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(  ) A.B.C.D.3答案B解析在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得cosA=,∴A=60°.∴边AC上的高h=AB·sinA=3sin60°=.故选B.6.在△ABC中,a=3,b=5,c=7,则其最大内角为     . 答案解析由题意,得c>b>a,则角C最大.∵cosC==-,且0c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos120°=,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30.最小内角为C,cosC=.9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的度数为   . 答案60°或120°解析由余弦定理,得2accosB·tanB=ac,整理,得sinB=,所以B=60°或120°.10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边长,若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,求角C的大小.解由题意,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,整理,得a2+2ab+b2-c2=3ab,即,所以cosC=,所以C=60°. 能力提升1.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则sin∠ABD=   . 答案解析因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=,所以sin∠ABD=.2.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为   . 答案解析因为sin∠BAC=,且AD⊥AC,所以sin,所以cos∠BAD=.在△BAD中,由余弦定理,得BD==.3.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,所以解得a>,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cosθ=