8.6.2 直线与平面垂直课后篇巩固提升基础巩固1.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是( ) A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交答案C解析取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.不确定答案C解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有( )A.AH⊥△EFH所在平面B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面答案A
解析原题图中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥△EFH所在平面.4.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下面命题正确的是( )A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m∥α,n∥α,则m∥nD.若m∥α,m∥β,则α∥β答案B解析选项A中,α⊥γ,β⊥γ⇒α与β平行或相交,故A不正确;选项C中,m∥α,n∥α⇒m与n平行、相交或异面,故C不正确;选项D中,m∥α,m∥β⇒α与β平行或相交,故D不正确.故选B.5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案C解析如图,连接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=,PA=,∴tan∠PCA=.∴∠PCA=60°.6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是 .(填“平行”或“垂直”) 答案垂直解析∵ABCD为正方形,∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.7.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是 . 答案平行解析∵DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,∴DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,∴DE∥平面PAC.8.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 . 答案解析如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.∵底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'.∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=,
在Rt△BB'C'中,BC'=,故直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.9.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件 时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可) 答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.10.已知PA垂直于▱ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则▱ABCD的形状一定是 . 答案菱形解析因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.11.如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于2cm,则PC与平面ABC所成角的大小为 . 答案45°解析过P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO,则CO为∠ABC的平分线,且∠PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为θ,连接OF,易知△CFO为直角三角形.又PC=4,PF=2,∴CF=2,
∴CO=2,在Rt△PCO中,cosθ=,∴θ=45°.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中点,所以EF⊥PC.又BP==2=BC,F是PC的中点,所以BF⊥PC.又BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点.求证:AD⊥平面A1DC1.证明∵AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC,∴AA1⊥平面A1B1∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90°,∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1=A1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,AD⊂平面AA1B1B,∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD=,A1D=,AA1=2.∴AD2+A1D2=A,∴A1D⊥AD.
∵A1C1∩A1D=A1,∴AD⊥平面A1DC1.14.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin∠AC1D=,即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.能力提升1.如果PA,PB,PC两两垂直,那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心答案D解析如图,由PA,PB,PC两两互相垂直,可得AP⊥平面PBC,BP⊥平面PAC,CP⊥平面PAB,
所以BC⊥OA,AB⊥OC,AC⊥OB,所以点O是△ABC三条高的交点,即点O是△ABC的垂心,故选D.2.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是( )A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°答案ABC解析由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以B正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.3.(2019全国Ⅰ高考)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为 . 答案解析作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD⊂平面PDO,∴CD⊥OD.∵PD=PE=,PC=2,∴sin∠PCE=sin∠PCD=,
∴∠PCB=∠PCA=60°.∴PO⊥CO,CO为∠ACB平分线,∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=.又PC=2,∴PO=.4.已知四棱锥P-ABCD,PA⊥PB,PA=PB=,AD⊥平面PAB,BC∥AD,BC=3AD,直线CD与平面PAB所成角的大小为,M是线段AB的中点.(1)求证:CD⊥平面PDM;(2)求点M到平面PCD的距离.(1)证明∵AD⊥平面PAB,PM⊂平面PAB,∴AD⊥PM.∵PA=PB=,M是线段AB的中点,∴PM⊥AB,又AD∩AB=A,AD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PM⊥平面ABCD,又CD⊂平面ABCD,∴PM⊥CD.取CB上点E,使得CE=CB,连接AE,∴AD∥CE且AD=CE,∴四边形AECD为平行四边形,∴CD∥AE,∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小,又AD⊥平面PAB,BC∥AD,∴BC⊥平面PAB,∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角,∴∠EAB=,∴BE=AB.
∵PA=PB=,PA⊥PB,∴AB=2=BE,∴AD=1,BC=3,CD=2,∴DM=,CM=,∴DM2+DC2=CM2,∴CD⊥DM.∵DM∩PM=M,DM,PM⊂平面PDM,∴CD⊥平面PDM.(2)解由(1)可知CD⊥平面PDM,∴△CDM和△CDP均为直角三角形,又PD=,设点M到平面PCD的距离为d,则VP-CDM=VM-PCD,即CD·DM·PM=CD·DP·d,化简得DM·PM=DP·d,解得d=,∴点M到平面PCD的距离为.
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