新教材人教版高中数学必修第二册课后巩固练习8.6.1《直线与直线垂直》(含解析)

8.6 空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直课后篇巩固提升基础巩固                1.如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于(  )A.30°B.45°C.60°D.90°答案B解析如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.∵E,F分别为CD,AB的中点,∴FG∥AC,EG∥BD,且FG=AC,EG=BD.∵AC=BD,∴FG=EG,∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角.∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,∴△EFG为等腰直角三角形.∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.2.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为     . 答案60°解析∵a∥OA,根据等角定理,又异面直线所成的角为锐角或直角,∴a与OB所成的角为60°. 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于     . 答案60°解析取A1B1中点M,连接MG,MH,则MG∥EF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.易知△MGH为正三角形,∠MGH=60°,∴EF与GH所成的角等于60°.4.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为     . 答案90°解析取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=BC.∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴异面直线CD1,EF所成的角为90°. 5.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,则EF与AB所成角的大小为    . 答案15°或75°解析取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,且EG=AB,FG∥CD,且FG=CD,由AB=CD知EG=FG.易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°.由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.6.在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF=,求AB和CD所成角的大小.解如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于点O,连接OF.∵EO∥AB,∴. ∵AB=3,∴EO=2.又,∴,∴OF∥DC,∴OE与OF所成的角即为AB和CD所成的角,.∵DC=3,∴OF=1.在△OEF中,OE2+OF2=5,EF2=()2=5,∴OE2+OF2=EF2,∴∠EOF=90°,所以AB和CD所成的角为90°.能力提升1.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长.解连接CD1,AC.由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°,∴∠AD1C=90°.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,∴△ACD1是等腰直角三角形,∴AD1=AC.∵底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°,∴AC=2×sin60°×2=6,AD1=AC=3,∴AA1=.2. 如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则=x.又BC=a,∴EF=ax.由=1-x,得EH=a(1-x).∴S四边形EFGH=EF×EH×sin60°=ax×a(1-x)×a2(-x2+x)=a2.当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.