6.1平面向量的概念
一二三一、向量的概念1.思考(1)在物理上,位移和距离这两个量有什么不同?提示位移既有大小又有方向,距离只有大小没有方向.(2)力、质量、身高、长度、速度、加速度、面积、体积,这些量中,哪些量既有大小又有方向,哪些量只有大小没有方向?提示力、速度、加速度既有大小,又有方向;质量、身高、长度、面积、体积这些量只有大小没有方向.2.填空(1)向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.(2)数量:把那些只有大小,没有方向的量,称为数量.
一二三二、向量的几何表示1.思考(1)物理中是如何表示力这一向量的?请同学们画示意图:先画一个竖直向下,大小为20N的力;再画一个水平向右,大小为30N的力(用1cm的长度表示10N).(2)我们曾经在单位圆中用有向线段定义了三角函数线,那么线段与有向线段相同吗?提示线段与有向线段不同,有向线段有长度、方向和起点与终点,而线段则只关乎端点与长度.
一二三(3)向量可以用有向线段表示,那么向量与有向线段一样吗?有什么区别?提示向量与有向线段是有区别的:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.(4)如何用符号表示向量?提示①用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如②用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用来表示.
一二三2.填空(1)具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作,起点要写在终点的前面.(2)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.(4)长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
一二三3.做一做(1)下列说法正确的是()A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定(2)下列说法正确的是()A.向量的模是一个正实数B.零向量没有方向C.单位向量的模等于1个单位长度D.零向量就是实数0
一二三答案:(1)D(2)C解析:(1)有向线段的起点与终点互换,其方向相反,长度相等,故D项正确.(2)向量的模是一个非负实数;零向量的方向是任意的,但它不是实数0,故A,B,D均错,只有C项正确.
一二三三、相等向量与共线向量1.思考(1)向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b,就其模等与不等,方向同与不同而言,有哪几种可能情形?提示有四种情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.
一二三(2)如图,a,b,c是一组平行向量,直线l是与a平行的一条直线,在l上任取一点O,你能把向量a,b,c都移动到直线l上,并且以O为起点吗?由此你会得出怎样的结论?提示作图如图所示,可知任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.
一二三(3)我们知道向量可以用有向线段来表示,那么,如何用有向线段表示两个相等向量?提示任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.在平面上,只要是两个长度相等且指向一致的有向线段就表示同一个向量,因为向量完全由它的方向和模确定.(4)相等向量与平行向量有什么关系?提示相等向量一定是平行向量,但平行向量不一定是相等向量.(5)向量的平行、共线与有向线段的平行、共线有什么区别和联系?提示两向量平行,对应的有向线段可能平行,也可能共线.两向量的共线和两向量平行是同一概念,但有向线段的平行和共线却意义不同.
一二三2.填空(1)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,通常记作a∥b.(2)我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.(3)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.两个向量a与b相等,记作a=b.
一二三3.做一做下列说法正确的是()B.与实数类似,对于两个向量a,b有a=b,a>b,a
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