新教材人教版高中数学必修第二册课堂练习课件6.4.3《第3课时习题课--正弦定理和余弦定理的综合应用》(含答案)

第3课时 习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用 一二1.填空(2)正弦定理的变形:①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆半径);③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(3)余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. 一二2.做一做在△ABC中,若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=()答案:D解析:由acosA=bsinB,得sinAcosA=sin2B,所以sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1. 一二二、三角形中有关边和角的常用性质1.填空(1)三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;(2)在△ABC中,a>b⇔A>B⇔sinA>sinB;(3)在△ABC中,a+b>c,b+c>a,c+a>b.2.做一做已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则实数x的取值范围为. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练利用正、余弦定理解三角形例1在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若bsinA=3csinB,a=3,cosB=,则b=()分析先由bsinA=3csinB及正弦定理得出边a,c的关系,从而得到边a,c的长度,再利用余弦定理求出b.答案:D反思感悟应用正、余弦定理解决三角形问题,关键是根据已知条件对边和角进行相互转化,化简表达式,通过代数变形或三角恒等变换解决问题. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是()答案:C 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练正、余弦定理与平面向量的综合分析先根据平面向量的数量积公式结合已知条件求出边c,再利用余弦定理求出边b,最后根据正弦定理求角C. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟利用正、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时,注意数量积定义的应用,其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系,例如的夹角等于内角A的补角. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角形中恒等式的证明例3在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c.分析解答本题可通过正、余弦定理化边为角或化角为边,即可证明. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练证法一由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,得a2-b2=b2-a2+2c(acosB-bcosA),即a2-b2=c(acosB-bcosA), 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角形中的最值与范围问题例4在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos(B-C)-1=4cosBcosC.(1)求cosA的值;(2)若a=3,求△ABC面积的最大值.分析(1)将已知条件运用两角和与差的余弦公式进行变形整理,化简为关于cosA的表达式,进而求出cosA的值;(2)运用三角形面积公式结合三角恒等变换求最值.解:(1)由已知,得2cosBcosC+2sinBsinC-1=4cosBcosC,所以2cosBcosC-2sinBsinC=-1,即2cos(B+C)=-1,因此-2cosA=-1,故cosA=. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟解决与面积有关的三角形的综合问题时,应选取适当的面积公式,结合正、余弦定理及三角恒等变换的知识,将问题转化为求函数的最值或范围,进而予以解决. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究在本例(2)中,若条件不变,求△ABC的周长的取值范围. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练一道最值问题的多种解法典例如图所示,在△ABC中,AB=2AC,AD是∠BAC的角平分线,且AD=kAC.(1)求k的取值范围;(2)若S△ABC=1,问k为何值时,BC最短. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练名师点评此题的求解过程很好地体现了转化与化归(本章中主要体现在利用正、余弦定理“化边为角”“化角为边”)、函数与方程(利用正、余弦定理解三角形体现的就是方程思想,函数思想体现在利用函数知识求最值)、数形结合(将图形关系转化为数量关系再解题)思想. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练1.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶3,则cosC的值为()答案:A解析:∵sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶3,由正弦定理,得a∶b∶c=3∶2∶3,设a=3k,b=2k,c=3k(k>0),2.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为()A.19B.14C.-18D.-19答案:D 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练4.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=2acosA.(1)求A;(2)若△ABC的周长为3,求a的最小值. 探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练