8.5.3平面与平面平行
一二一、平面与平面平行的判定定理1.思考(1)使三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗?提示不一定,也可能相交.(2)使三角板的两条边所在直线都与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗?提示一定平行.(3)如果一本书的两边与桌面分别平行,那么这本书所在的平面与桌面平行吗?提示不一定.如果是书的一组对边分别与桌面平行,那么这本书所在的平面与桌面可能平行,也可能相交;如果是书的一组邻边分别与桌面平行,那么这本书所在的平面与桌面一定平行.
一二(4)如图,平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行?这两个平面平行吗?提示无数条,不平行.
一二2.填空平面与平面平行的判定定理
一二3.做一做(1)在长方体ABCD-A'B'C'D'中,下列结论正确的是()A.平面ABCD∥平面ABB'A'B.平面ABCD∥平面ADD'A'C.平面ABCD∥平面CDD'C'D.平面ABCD∥平面A'B'C'D'答案:D解析:在长方体ABCD-A'B'C'D'中,上底面ABCD与下底面A'B'C'D'平行.
一二(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.()②如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行.()③直线a∥平面β,直线b∥平面β,a⊂平面α,b⊂平面α⇒平面α∥平面β.()答案:①×②×③×
一二二、平面与平面平行的性质定理1.思考(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一条直线与另一个平面有什么位置关系?为什么?提示一个平面内的任一条直线都与另一个平面平行.因为两个平面平行时,这两个平面没有公共点,所以一个平面内的直线与另一平面就没有公共点,从而该直线与另一个平面平行.(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线具有什么位置关系?提示它们可能平行,也可能异面.(3)在思考(2)中,如何保证分别在两个面内的这两条直线平行?提示使这两条直线位于同一个平面内.
一二(4)在长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面AC内哪些直线与B'D'平行呢?如何找到它们?提示因为平面AC与平面B'D'平行,平面AC内的直线只要与直线B'D'共面就可以了.(5)当第三个平面和两个平行平面都相交时,两条交线有什么关系?如何证明它们的关系?提示两条交线平行.下面我们来证明这个结论.已知,如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b.求证:a∥b.证明:∵α∩γ=a,β∩γ=b,∴a⊂α,b⊂β.∵α∥β,∴a,b没有公共点.又a,b同在平面γ内,∴a∥b.
一二2.填空平面与平面平行的性质定理
一二3.做一做(1)若α∥β,a⊂α,b⊂β,下列几种说法正确的是()①a∥b;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不垂直;④a∥β.A.①②B.②④C.②③D.①③④答案:B(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直线a,平面β∩平面γ=直线b⇒直线a∥直线b.()②平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β⇒a∥b.()答案:①√②×
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练两个平面平行的判定例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点,求证:(1)E,F,B,D四点共面;(2)平面MAN∥平面EFDB.分析(1)只需证明BD∥EF,即可证明E,F,B,D共面.(2)要证平面MAN∥平面EFDB,只需证MN∥平面EFDB,AM∥平面EFDB.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证明:(1)连接B1D1.∵E,F分别是B1C1和C1D1的中点,∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E,F,B,D四点共面.(2)由题意知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.而MN⊄平面EFDB,∴MN∥平面EFDB,连接MF.∵点M,F分别是A1B1与C1D1的中点,∴MF?AD.∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.∵AM⊄平面EFDB,DF⊂平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M,∴平面MAN∥平面EFDB.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点也不容易做到(可用反证法),所以通常用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究本例中,设P是棱AA1的中点,其他条件不变,求证:平面PMN∥平面C1BD.证明:连接AB1.∵P,M分别是AA1,A1B1的中点,∴PM∥AB1.又AB1∥C1D,∴PM∥C1D.又PM⊄平面C1BD,C1D⊂平面C1BD,∴PM∥平面C1BD.同理MN∥平面C1BD.又PM∩MN=M,∴平面PMN∥平面C1BD.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练线面平行、面面平行判定定理的综合例2在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,M为PE的中点,在棱PC上是否存在一点F,使平面BFM∥平面AEC?并证明你的结论.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:当F是棱PC的中点时,平面BFM∥平面AEC.∵M是PE的中点,∴FM∥CE.∵FM⊄平面AEC,CE⊂平面AEC,∴FM∥平面AEC.由EM=PE=ED,得E为MD的中点,连接BM,BD,如图所示,设BD∩AC=O,则O为BD的中点.连接OE,则BM∥OE.∵BM⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,∴BM∥平面AEC.∵FM⊂平面BFM,BM⊂平面BFM,FM∩BM=M,∴平面BFM∥平面AEC.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟探索型问题是具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,需要自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括得出结论.常见的有以下两类:条件探索型和结论探索型.条件探索型问题是针对一个结论,条件未知需探索;结论探索型是先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳,进行猜测,得出结论,再就一般情况去论证结论.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边及其内部运动,当点M在时,有MN∥平面B1BDD1.答案:点F,H的连线上
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:点M在F,H的连线上时,有MN∥平面B1BDD1.如图,平面BDD1B1是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面,探究过点N且与平面BDD1B1平行的直线,可取B1C1的中点N1,连接N1N,则NN1∥平面BDD1B1,连接NH,则NH∥平面BDD1B1.∵NH∩NN1=N,∴平面NN1FH∥平面BDD1B1.∵MN⊂平面NN1FH,∴MN∥平面B1BDD1.即点M在点F,H的连线上时,有MN∥平面B1BDD1.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练面面平行性质定理的应用角度1证明线线平行例3如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.分析(1)由面面平行的性质定理直接推证;(2)先由三角形相似得对应线段成比例,再求值.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)证明:∵PB∩PD=P,∴直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.(2)解:由(1)得AC∥BD,
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的,它们的联系如下:证明线线平行的方法.(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2在本例中,若P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长.解:如图,∵PB∩PC=P,∴PB,PC确定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.又α∥β,∴AC∥BD,∴△PAC∽△PBD,
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2证明线面平行例4如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?并证明你的结论.分析先找出过DE与平面AB1C1平行的平面,可直接找出过D,E与△AB1C1的三边平行的直线,进而确定平面,然后确定其与棱AB的交点,即可找出E点位置,然后利用定理进行证明即可.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:当E为棱AB的中点时,DE∥平面AB1C1.证明如下:如图所示,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,AC1.因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊂平面AB1C1,EF⊄平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1.因为DE⊂平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.反思感悟证明直线与平面平行,除了定义法,判定定理法以外,还可以用两平面平行的性质,也就是说为了证明直线与平面平行,也可以先证明两平面平行,再由两平面平行的性质得到线面平行.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究若在△ABC内找一点E呢?点E只有一个吗?若只有一个,确定点E的位置;若不是,试写出点E的集合.解:能找到.点E有无数个,点E的集合是线段PQ.如图,取棱AB的中点P,棱AC的中点Q.连接PD,PQ,QD.在△ABC中,P,Q分别是AB,AC的中点,所以PQ∥BC.在▱CBB1C1中,因为D,F分别为CC1,BB1的中点,所以DF∥B1C1,所以PQ∥DF,故四边形PQDF是一个梯形.又DF∥B1C1,DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1.同理,PF∥平面AB1C1.又PF∩DF=F,所以平面PQDF∥平面AB1C1.故点E的集合是线段PQ.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练转化与化归思想在线面、面面平行性质定理中的应用典例如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BB1,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.【审题视角】用判定定理证明较困难,可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行,得到MN∥平面AA1B1B.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证明:如图,作MP∥BB1交BC于点P,连接NP,∵AB=BB1,∴BD=B1C.又DN=CM,∴BN=B1M,∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B,AB⊂平面AA1B1B,∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1,MP⊄平面AA1B1B,BB1⊂平面AA1B1B,∴MP∥平面AA1B1B.又MP⊂平面MNP,NP⊂平面MNP,MP∩NP=P,∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP,∴MN∥平面AA1B1B.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练方法点睛1.线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达的,因此在证明有关问题时,应抓住“转化”这种思想方法来达到论证的目的.2.空间中线线、线面、面面平行关系的转化如下:
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'共点于O,O在α,β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC=90°,OA∶OA'=3∶2.则△A'B'C'的面积为.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:相交直线AA',BB'所在平面和两平行平面α,β分别相交于AB,A'B',由面面平行的性质定理可得AB∥A'B'.同理相交直线BB',CC'确定的平面和平行平面α,β分别相交于BC,B'C',从而BC∥B'C'.同理易证AC∥A'C'.∴∠BAC与∠B'A'C'的两边对应平行且方向相反,∴∠BAC=∠B'A'C'.同理∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A'.∴△ABC与△A'B'C'的三内角分别相等,∴△ABC∽△A'B'C',
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练∵AB∥A'B',AA'∩BB'=O,∴在平面ABA'B'中,△AOB∽△A'OB'.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.已知长方体ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面AC=EF,平面α∩平面A'C'=E'F',则EF与E'F'的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定答案:A解析:因为平面AC∥平面A'C',所以EF∥E'F'.2.若P,Q,R分别是三棱锥S-ABC三条侧棱SA,SB,SC的中点,则平面ABC与平面PQR的位置关系是()A.平行B.相交C.重合D.相交或平行答案:A解析:由三角形中位线的性质知PQ∥AB,PR∥AC,由线面平行的判定定理,可得PQ∥平面ABC,PR∥平面ABC,又PQ∩PR=P,根据面面平行的判定定理,可得平面ABC∥平面PQR.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.(2019全国Ⅱ高考)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面答案:B解析:由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练4.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为.答案:a⊂β或a∥β解析:若a⊂β,则显然满足题目条件.若a⊄β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直线a∥平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c,又a⊄β,c⊂β,所以a∥β.5.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.答案:l∥A1C1解析:因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.
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