10.1.3古典概型
一二三一、随机事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
一二三二、古典概型1.思考请根据试验一、试验二的要求完成下列问题.(1)试验一:抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少完成60次.(2)试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录朝上一面出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数,要求每个数学小组至少完成60次.问题①:根据两个模拟试验的结果,完成下表.问题②:上述试验中出现的结果有什么特点?
一二三答案:问题①:{正面向上,反面向上}互斥{1,2,3,4,5,6}互斥问题②:试验中所有可能出现的结果只有有限个;每个结果出现的可能性相等.
一二三2.填空(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有上述两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.名师点拨(1)由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.(2)在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件.
一二三3.做一做(1)下列试验中,是古典概型的个数为()①种下一粒花生,观察它是否发芽;②向上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率;③正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;④从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;⑤在线段[0,5]上任取一点,求此点小于2的概率.A.0B.1C.2D.3答案:B解析:只有④是古典概型.
一二三(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①古典概型中,试验中出现的样本点可以是无限多.()②掷两颗骰子,计算正面向上的数字之和,则每种和值出现机会均等.()答案:①×②×
一二三三、古典概型的概率公式1.思考某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么你能得出王先生能乘上上等车的概率吗?提示共有6种发车顺序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车),所以他乘上上等车的概率为
一二三2.填空一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.3.做一做从甲、乙、丙三人中,任选两名代表,甲被选中的概率为()答案:D解析:甲、乙、丙三人中任选两名代表有如下三种情况:(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙),其中甲被选中包含两种,因此所求概率为.
一二三归纳总结求解古典概型问题的一般思路(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.
探究一探究二探究三随堂演练基本事件的计数问题例1将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,观察两次出现的点数情况,则:(1)一共有几个基本事件?(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件?分析先列出所有的基本事件,再确定个数.
探究一探究二探究三随堂演练解:解法一:(1)用(x,y)表示结果,其中x表示第1次骰子出现的点数,y表示第2次骰子出现的点数,则试验的所有结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).共36个基本事件.(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
探究一探究二探究三随堂演练解法二:如下图所示,坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和,基本事件与所描点一一对应.(1)由图知,基本事件的总数为36.(2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用虚线圈出).
探究一探究二探究三随堂演练解法三:一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示.如下图所示.(1)由图知,共36个基本事件.(2)“出现的点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).
探究一探究二探究三随堂演练反思感悟1.在列出基本事件时,应先确定基本事件是否与顺序有关.写基本事件时,一定要按一定顺序写,这样不容易漏写.2.求基本事件总数的常用方法(1)列举法:适合于较简单的问题.(2)列表法:适合求较复杂问题中的基本事件数.(3)树形图法:适合较复杂问题中基本事件的探求.
探究一探究二探究三随堂演练变式训练1袋中有2个标号分别为1,2的白球和2个标号分别为3,4的黑球,这4个球除颜色、标号外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出1个球,求基本事件的个数.解:4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树形图表示如图:
探究一探究二探究三随堂演练古典概型的多种求解策略例2一个盒子中放有5个完全相同的小球,其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个,记下号码后放回.再取出1个,记下号码后放回,按顺序记录为(x,y).(1)求所得两球标号的和为6的概率;(2)求所得两球标号的和是3的倍数的概率.
探究一探究二探究三随堂演练解:列出所有的基本事件,共25个,如图所示.(1)由图可直观地看出“所得两球标号的和为6”包含5个基本事件:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),故所求概率为(2)“两球标号的和为3的倍数”包含(2,1),(1,2),(1,5),(2,4),(3,3),(5,1),(4,2),(4,5),(5,4),共9个基本事件,故所求概率为.
探究一探究二探究三随堂演练反思感悟1.求解古典概型“四步法”
探究一探究二探究三随堂演练2.列表法求解基本事件个数的思路列表法就是利用表格的形式列出所有的基本事件,通常用来解决试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果比较多的问题.表格的行与列分别代表不同的元素,根据试验的要求直接在表格中标出相应的结果,这种方法直观、简洁、不易出错.3.用坐标系来表示基本事件多用于二维或三维问题,并且往往表达含有顺序问题的基本事件,但要求元素不宜过多.4.树形图可以清晰准确地列出所有的基本事件,画树形图求概率的基本步骤:(1)明确一次试验的几个步骤及顺序;(2)画树形图列举一次试验的所有可能结果;(3)明确基本事件,数出n(A),n(Ω);
探究一探究二探究三随堂演练变式训练2甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干,甲盒中装有2张卡片,分别写有字母A和B;乙盒中装有3张卡片,分别写有字母C、D和E;丙盒中装有2张卡片,分别写有字母H和I.现要从3个盒中各随机取出一张卡片.求:(1)取出的3张卡片中恰好有1张,2张,3张写有元音字母的概率分别是多少?(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少?
探究一探究二探究三随堂演练解:根据题意,可画出如下树形图:由树形图可以得到,所有可能出现的基本事件有12个,它们出现的可能性相等.
探究一探究二探究三随堂演练古典概型与其他统计知识的交汇问题例3某校从高一年级某次数学竞赛的成绩中随机抽取100名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率分布直方图如图所示.(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1).(2)年级决定在成绩[70,100]中用分层随机抽样抽取6人组成一个调研小组,对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查,则在[70,80),[80,90),[90,100]这三组分别抽取了多少人?(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长的概率.
探究一探究二探究三随堂演练分析(1)由频率分布直方图能求出众数、中位数.(2)先求出成绩为[70,80),[80,90),[90,100)这三组的频率,由此能求出[70,80),[80,90),[90,100]这三组抽取的人数.(3)由(2)知成绩在[70,80)有3人,分别记为a,b,c;成绩在[80,90)有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]有1人,记为f.由此利用列举法能求出成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长的概率.解:(1)由频率分布直方图得,众数为=65.成绩在[50,70)内的频率为(0.005+0.035)×10=0.4,成绩在[70,80)内的频率为0.03×10=0.3,∴中位数为70+×10≈73.3.(2)成绩为[70,80),[80,90),[90,100]这三组的频率分别为0.3,0.2,0.1,∴[70,80),[80,90),[90,100]这三组抽取的人数分别为3,2,1.
探究一探究二探究三随堂演练(3)由(2)知成绩在[70,80)有3人,分别记为a,b,c;成绩在[80,90)有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]有1人,记为f.∴从抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有30个,分别为ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,dc,ce,ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe.记“成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长”为事件Q,则事件Q包含的基本事件有18种,∴成绩在[80,90)中至少有1人当选为正副小组长的概率反思感悟概率问题常常与统计问题综合考查,在此类问题中,概率与频率的区别并不是十分明显,通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.
探究一探究二探究三随堂演练延伸探究从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位:cm,被测学生的身高全部在155cm到195cm之间),将测量结果按如下方式分成8组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],绘制成的频率分布直方图如图所示,若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名,记他们的身高分别为x,y,则|x-y|≤5的概率为()
探究一探究二探究三随堂演练答案:A解析:由频率分布直方图,可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50=4,分别记为a,b,c,d;身高在[190,195)的人数为0.008×5×50=2,分别记为A,B,若x,y∈[180,185],则有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种情况;若x,y∈[190,195],则有AB,共1种情况;若x∈[180,185),y∈[190,195]或x∈[190,195],y∈[180,185),则有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,共8种情况.所以基本事件的总数为6+1+8=15,而事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件数为6+1=7,
探究一探究二探究三随堂演练1.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()答案:A解析:如图:基本事件的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的基本事件个数是10个,故所求概率
探究一探究二探究三随堂演练2.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为()答案:A解析:设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别记为A,B,C,从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,根据题意,其中Ab,Ac,Bc是田忌获胜,则田忌获胜的概率为.故选A.
探究一探究二探究三随堂演练3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(2,6),则向量p与q共线的概率为.解析:∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次,共有6×6=36种结果,满足条件的事件是使向量p=(m,n)与q=(2,6)共线,即6m-2n=0,∴n=3m,满足这种条件的有(1,3),(2,6),共有2种结果,
探究一探究二探究三随堂演练4.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.解析:从5根竹竿中一次随机抽取2根的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为
探究一探究二探究三随堂演练5.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)求频率分布直方图中a的值;(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的频率;(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.
探究一探究二探究三随堂演练解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以估计该企业职工对该部门评分不低于80的频率为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即(B1,B2),
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