章末整合
例1在三棱锥D-ABC中,CD⊥底面ABC,△ABC为正三角形,若AE∥CD,AB=CD=AE=2,则三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体的体积为()答案:B解析:根据题意画出如图所示的几何体.∴三棱锥D-ABC与三棱锥E-ABC的公共部分构成的几何体为三棱锥F-ABC.∵△ABC为正三角形,AB=2,∵CD⊥底面ABC,AE∥CD,CD=AE=2,∴四边形AEDC为矩形,则F为EC与AD的中点,
方法技巧空间几何体体积的求法(1)公式法:所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时,可以直接把相应数据代入各几何体的体积公式进行计算.(2)割补法:求不规则几何体的体积时,常通过分割或补形的手段,将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.(3)等体积转化法:此方法常用于三棱锥,即利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特性,进行换底换高的等体积变换,通过变换底,转化为容易计算的位置,这个方法也可以用来求点到平面的距离.
变式训练1《九章算术》是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图所示,四边形ABCD是矩形,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则这个几何体的体积是()答案:C
解析:过E作EG⊥平面ABCD,垂足为G,过F作FH⊥平面ABCD,垂足为H,过G作PQ∥AD,交AB于Q,交CD于P,过H作MN∥BC,交AB于N,交CD于M,如图所示.∵四边形ABCD是矩形,棱EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,
例2(2019全国Ⅰ高考)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()答案:D
方法技巧多面体与球接、切问题的求解方法:(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据4R2=a2+b2+c2求解.
变式训练2三棱锥D-ABC的一条棱长为m,其余棱长均为2,当三棱锥D-ABC的体积最大时,它的外接球的表面积为()答案:B
解析:由题意画出三棱锥的图形,其中AB=BC=CD=BD=AC=2,AD=m;取BC,AD的中点分别为E,F,可知AE⊥BC,DE⊥BC,且AE∩DE=E,∴BC⊥平面AED,∴当平面ABC⊥平面BCD时,三棱锥A-BCD的体积最大,此时.设该三棱锥外接球的球心为O,半径为R,由球体的对称性知,球心O在线段EF上,∴OA=OC=R,
例3如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明:(1)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E是CD的中点,∴四边形ABED为平行四边形,∴BE∥AD.又AD⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,∴BE∥平面PAD.(3)在平行四边形ABED中,由AB⊥AD可得,四边形ABED为矩形,则BE⊥CD.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,又AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.又E,F分别为CD和PC的中点,∴EF∥PD,∴CD⊥EF.∵EF∩BE=E,∴CD⊥平面BEF.∵CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.
方法技巧1.立体几何中的平行关系有三种:线线平行、线面平行、面面平行.(1)证明线线平行的常用方法有5种:①利用两直线平行的定义;②利用平行线的传递性;③利用线面平行的性质定理;④利用线面垂直的性质定理;⑤利用面面平行的性质定理.(2)证明线面平行的常用方法有3种:①利用线面平行的定义;②利用线面平行的判定定理;③利用面面平行的性质.
(3)证明面面平行的常用方法有3种:①利用面面平行的定义;②利用面面平行的判定定理;③利用面面平行的结论:垂直于同一直线的两个平面平行.2.立体几何中的垂直关系有三种:线线垂直、线面垂直、面面垂直.(1)证明线线垂直的常用方法有2种:①利用两直线垂直的定义;②利用线面垂直的定义.(2)证明线面垂直的常用方法有3种:①利用线面垂直的定义;②利用线面垂直的判定定理;③利用面面垂直的性质.(3)证明面面垂直的常用方法有1种:利用面面垂直的判定定理.
变式训练3(2019天津高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD;(2)求证:PA⊥平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
(1)证明:连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GH∥PD.又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)证明:取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA.又已知PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)解:连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,
例4如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△DCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中点O在线段DE内.(1)求证:CO⊥平面ABED;(2)求当∠CEO(记为θ)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?
(1)证明:在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,则AB=DE.又AB∥DE,AD⊥AB,知BE⊥CD.在四棱锥C-ABED中,BE⊥DE,BE⊥CE,CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,则BE⊥平面CDE.因为CO⊂平面CDE,所以BE⊥CO.又CO⊥DE,且BE,DE是平面ABED内两条相交直线,故CO⊥平面ABED.
方法技巧1.对命题条件的探索的三种途径:(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.2.对命题结论的探索方法:从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.
(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.
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