10.3.1频率的稳定性10.3.2随机模拟
一二一、随机事件的频率与概率的关系1.思考历史上曾有人做过抛掷一枚质地均匀的硬币的大量重复试验,结果如下表所示:在上述抛掷硬币的试验中,你会发现怎样的规律?提示当试验次数很多时,出现正面的比例在0.5附近摆动.
一二2.填空大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此可以用频率fn(A)估计P(A).
一二名师点拨对于频率与概率的区别和联系的剖析(1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的.(2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是0.5,与做多少次试验无关.(3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.
一二3.做一做(1)某射击运动员射击20次,恰有18次击中目标,则该运动员击中目标的频率是.答案:0.9解析:设击中目标为事件A,则n=20,nA=18,则f20(A)=1820=0.9.(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①频率是客观存在的,与试验次数无关.()②概率是随机的,在试验前不能确定.()③随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率.()答案:①×②×③√
一二二、随机模拟1.思考以下是用随机模拟法求“同时抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和是偶数概率”的错解过程以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?提示错因:骰子的点数为1~6之间的整数,故随机数的范围应设为1~6,并且每个数代表骰子出现的点数.错解中,没有理解随机数产生范围的含义,错误地把随机数的范围当作1~10,因此所求结果是错的.(1)用计算器产生1~10之间取整数值的随机数.(2)统计所产生的随机数总个数N.(3)把所产生的随机数两两分组,再相加,统计和是偶数的个数N1.(4)即是点数之和是偶数的概率近似值.
一二正解抛掷两枚骰子,可以看作一枚骰子抛掷两次,用两个随机数字作为一组即可.(1)抛掷一次只能出现6个等可能基本事件,所以用1~6之间的数字进行标注.(2)用计算器或计算机产生1~6之间的取整数值的随机数,并用两个随机数值作为一组.
一二2.填空(1)随机数与伪随机数①例如我们要产生0~9之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.②计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.(2)蒙特卡洛方法利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这种利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
一二3.做一做(1)用抛质地均匀的硬币的方法可产生个随机数,抛质地均匀的骰子可产生个随机数.答案:26解析:抛硬币,用正面表示一个数,反面表示一个数,则可产生两个随机数,类似地,抛骰子可产生六个随机数.
一二(2)通过模拟试验,产生了20组随机数:68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,表示恰有三次击中目标,则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为.答案:25%解析:表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754,共5组数,而随机数总共20组,所以所求的概率约为=25%.
一二(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数.()②用计算器或计算机产生的随机数是伪随机数.()③不能用伪随机数估计概率.()答案:①×②√③×
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练随机事件的频率与概率例1近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)厨余垃圾投放正确的概率为(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里厨余垃圾量和可回收物量的总和除以生活垃圾总量,
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.由统计定义求概率的一般步骤:(1)确定随机事件A的频率nA(n为试验的总次数);(3)由频率fn(A)估计概率P(A).2.概率可看成频率在理论上的稳定值,从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1某质检员从一大批种子中抽取若干批,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:(1)计算各批种子的发芽频率,填入上表;(2)根据频率的稳定性估计种子发芽的概率.解:(1)发芽频率从左到右依次为:0.79,0.78,0.81,0.79,0.80,0.82.(2)由(1)知,发芽频率逐渐稳定在0.80,因此可以估计种子发芽的概率为0.80.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练随机数的产生例2某校高一全年级20个班共1200人,期中考试时如何把学生分配到40个考场去?分析用计算机产生的随机数给1200名学生编号,把学生按分到的随机数从小到大排列.解:(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机;(2)用随机函数RANDBETWEEN(1,1200)按顺序给每个学生一个随机数(每人的都不同);(3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列,即可得到考试号从1到1200人的考试序号.(注:1号应为0001,2号应为0002,用0补足位数.前面再加上有关信息号码即可)
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等.抽签法产生的随机数能保证机会均等,而计算器或计算机产生的随机数是伪随机数,不能保证等可能性,但是后者较前者速度快,操作简单,省时省力.2.用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点:(1)进行正确的编号,并且编号要连续;(2)正确把握抽取的范围和容量.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2一体育代表队共有21名水平相当的运动员,现从中抽取11人参加某场比赛,其中运动员甲必须参加.写出利用随机数抽取的过程.解:(1)把除甲之外的20名运动员编号,号码为1,2,3,…,19,20;(2)用计算器的随机函数RandInt(1,20)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,20)产生10个1~20之间的整数值随机数,如果有重复,就重新产生一个;(3)以上号码对应的10名运动员与甲运动员就是要抽取的对象.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用随机数求事件的概率例3一个盒子中有除颜色外其他均相同的5个白球和2个黑球,用随机模拟法求下列事件的概率:(1)任取一球,得到白球;(2)任取三球,都是白球.分析将这7个球编号,产生1到7之间的整数值的随机数,(1)一个随机数看成一组即代表一次试验;(2)每三个随机数看成一组即代表一次试验.统计组数和事件发生的次数即可.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.(1)步骤:①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每一个数一组,统计组数为n;②统计这n组数中小于6的组数m;③则任取一球,得到白球的概率近似为.(2)步骤:①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每三个数一组(每组中数不重复),统计组数为n';②统计这n'组数中,每组三个数字均小于6的组数m';③则任取三球,都是白球的概率近似为.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时,首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.可以从以下几个方面考虑:(1)试验的基本事件是等可能的时,基本事件总数就是产生随机数的范围,每组随机数字代表一个基本事件;(2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数;(3)产生的整数随机数的组数n越大,估计的概率准确性越高;(4)这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究从甲、乙、丙、丁4人中,任选3人参加志愿者活动,请用随机模拟的方法估计甲被选中的概率.解:用1,2,3,4分别表示甲、乙、丙、丁四人.利用计算器或计算机产生1到4之间的随机数,每三个一组,每组中数不重复,得到n组数,统计这n组数中含有1的组数m,则估计甲被选中的概率为.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对频率与概率关系问题的多方位辨析典例1某射手射击一次击中靶心的概率是0.9,是不是说明他射击10次就一定能击中9次?
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练典例2某同学掷一枚硬币10次,共有7次反面向上,于是他指出:“掷一枚硬币,出现反面向上的概率应为0.7”.你认为他的结论正确吗?为什么?解:不正确,掷一枚硬币10次,有7次反面向上,就此得出“反面向上”的概率为0.7,显然是对概率的统计性定义的曲解.因为概率是随机事件的本质属性,不随试验次数的改变而改变,用频率的稳定值估计概率时,要求试验的次数足够多.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练归纳提升1.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率恰是其规律性在数量上的反映,概率是客观存在的,它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系,概率是一种可能性,往往通过频率估算一个随机事件发生的可能性,可以看作频率理论上的期望值,因此,可以用频率的趋向近似值来表示随机事件发生的概率.2.概率定义中用频率的近似值刻画概率,要求试验次数足够多,即只有“在相同条件下,随着试验次数的增加,随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定”时,才用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小,即称为这一事件发生的概率的近似值.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于()A.产生的随机数的大小B.产生的随机数的个数C.随机数对应的结果D.产生随机数的方法答案:B解析:随机数容量越大,频率越接近概率.2.某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则()A.正面朝上的概率为0.6B.正面朝上的频率为0.6C.正面朝上的频率为6D.正面朝上的概率接近于0.6答案:B解析:0.6是正面朝上的频率不是概率.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.下列说法:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件的概率;③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的说法有.(填序号)答案:①③④解析:由频率和概率的关系知只有①③④正确.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练4.在用随机模拟方法解决“盒中仅有4个白球和5个黑球,从中取4个,求取出2个白球2个黑球的概率”问题时,可让计算机产生1~9的随机整数,并用1~4代表白球,用5~9代表黑球.因为是摸出4个球,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是.答案:摸出的4个球中,只有1个白球解析:分析题意,易知数字4代表白球,数字6,7,8代表黑球,因此这组随机数的含义为摸出的4个球中,只有1个白球.5.某种病治愈的概率是0.3,有10个人来就诊,那么前7个人没有治愈,后3个人一定能治愈吗?解:不一定,有可能1个人治愈,有可能2个人治愈,有可能3个人都治愈,也有可能3个人都没有治愈.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练6.某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:h)进行了统计,统计结果如表所示:(1)将各组的频率填入表中;(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500h的概率.解:(1)频率依次填0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中使用寿命不足1500h的频数是48+121+208+223=600,所以样本中使用寿命不足1500h的频率是=0.6,即灯管使用寿命不足1500h的概率约为0.6.
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