新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第6章《6.2.1向量的加法运算》(含解析)

6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算学习目标核心素养1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点)3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)1.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养.2.对比数的加法，给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养.1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋＝.平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b.思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？10 [提示] 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．3．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．下列各式不一定成立的是(  )A．a＋b＝b＋a  B．0＋a＝aC.＋＝D．|a＋b|＝|a|＋|b|D [A，B，C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]2.＋＋等于(  )A.        B.C.D.C [＋＋＝＋＋＝.]3．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________. [由平行四边形法则可知＋＝.]4．小船以10km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为＝20(km/h)．]10 向量加法的三角形法则和平行四边形法则[探究问题]1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？[提示] (1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，＋＋＋…＋An－1An的运算结果是什么？[提示] 将三角形法则进行推广可知＋＋＋…＋An－1An＝.【例1】 (1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：①＋＝________；②＋＝________；③＋＋＝________.(2)①如图甲所示，求作向量和a＋b；②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c. 甲       乙[思路探究] (1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．(1)① ② ③ [如题图，由已知得四边形DFCB10 为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：①＋＝＋＝.②＋＝＋＝.③＋＋＝＋＋＝.](2)[解] ①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示．②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．1．在本例(1)条件下，求＋.[解] 因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，10 所以＋＝.2．在本例(1)图形中求作向量＋＋.[解] 过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，则＋＝，作＝，连接，则＝＋＋，如图所示．1．向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．(2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．向量加法运算律的应用【例2】 (1)化简：①＋；②＋＋；10 ③＋＋＋＋.(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：①＋＋；②＋＋＋.[思路探究] 根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．[解] (1)①＋＝＋＝；②＋＋＝＋＋＝0；③＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.(2)①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．10 1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于(  )A.        B.C.D.D [原式＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝.]向量加法的实际应用[思路探究] [解] 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10N的重力用表示，则＋＝.易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴||＝||·cos30°＝10×＝5，||＝||·cos60°＝10×＝5.∴A处所受的力的大小为5N，B处所受的力的大小为5N.10 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解] 设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次飞行的位移的和是＋＝.依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以||＝＝＝800(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800km，方向为北偏东80°.10 1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不能写成0.1．判断正误(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(  )(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(  )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(  )(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.(  )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是(  )A.＋＋    B.＋＋C.＋＋D.＋＋C [在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.]3．若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．8km 东北方向 [如图所示，作＝a，＝b，10 则a＋b＝＋＝.所以|a＋b|＝||＝＝8(km)，因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向．]4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)＋；(2)＋.[解] (1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.(2)由题图可知，＝＝＝，∴＋＝＋＝.10