新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第6章《6.2.2向量的减法运算》(含解析)

6.2.2 向量的减法运算学习目标核心素养1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．(难点)2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)1.类比数的运算，自然引入向量的减法运算是加法运算的逆运算，顺利给出向量减法的三角形法则，培养数学抽象和数学建模的核心素养.2.通过对向量的加法的学习，提升数学运算和逻辑推理能力.1．相反向量(1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量．(2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝0.③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.2．向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|?[提示] 当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．12 1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(  )A．m＝n      B．m＝－nC．|m|＝|n|D．方向相反A [由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选A.]2．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(  )A.－＝B.－＝C.－＝D.－＝C [如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，－＝－－(＋)＝－2≠，故选C.]3．化简－＋＋的结果等于(  )A.       B.C.D.B [原式＝(＋)＋(＋)＝＋0=.]4．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________.12 a＋b b－a [由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a.]向量减法的几何意义【例1】 (1)如图所示，四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝(  )A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[思路探究] (1)利用向量减法和加法的几何意义，将向，，转化；(2)利用几何意义法与定义法求出a＋b－c的值．(1)A [＝－＝(＋)－＝a＋c－b.](2)[解] 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.12 法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c.图①     图②求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.[解] 法一：先作a－b，再作a－b－c即可．如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.图①      图②12 法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.(1)作＝－b和＝－c；(2)作＝a，则＝a－b－c.向量减法的运算及简单应用【例2】 (1)如图所示，①用a，b表示；②用b，c表示.(2)化简下列各向量的表达式：①＋－；②(－)－(－)；③(＋＋)－(－－)．[思路探究] 按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．[解] (1)由题意知＝a，＝b，＝c.①＝－＝－－＝－a－b.②＝－＝－(＋)＝－b－c.(2)①＋－＝－＝.②(－)－(－)＝(＋)－(＋)＝－＝0.12 ③(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0.(2)②法一：(加法法则)原式＝－－＋＝(＋)－(＋)＝－＝0；法二：减法法则(利用相反向量)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0；法三：减法法则(创造同一起点)原式＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和．12 (2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．3．与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．2．化简下列向量表达式：(1)－＋－；(2)(－)＋(－)．[解] (1)－＋－＝＋－＝－＝.(2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.向量减法几何意义的应用[探究问题]1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a＋b和a－b放在这个图形中？[提示] 如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则a＋b＝，a－b＝.2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？[提示] 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．12 (2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图①所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||