新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第7章《7.1.1数系的扩充和复数的概念》(含解析)

7.1 复数的概念7.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标核心素养1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点)2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)1.通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养．2．借助复数的概念，提升数学抽象的素养.1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？7 [提示]1．复数i－2的虚部是(  )A．i         B．－2C．1D．2C [i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(  )A．x＝1，y＝－1B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0D．x＝0，y＝0A [∵(x＋y)i＝x－1，∴∴x＝1，y＝－1.]3．在下列数中，属于虚数的是，属于纯虚数的是．0,1＋i，πi，＋2i，－i，i.1＋i，πi，＋2i，－i，i πi，i [根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．]7 复数的概念【例1】 给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是(  )A．1    B．2    C．3    D．4C [复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．]判断复数概念方面的命题真假的注意点(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系；(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同；(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假．1．下列说法中正确的是(  )A．复数由实数、虚数、纯虚数构成B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋iC [选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．]7 复数的分类【例2】 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x满足即x＝5时，z是实数．(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0.2．已知m∈R，复数z＝lgm＋(m2－1)i，当m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．[解] (1)当z为实数时，m需满足解得m＝1.(2)当z为虚数时，m需满足解得m＞0，且m≠1.(3)当z为纯虚数时，m需满足无解，即不存在m使z为纯虚数．复数相等的充要条件[探究问题]1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？[提示] 由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．7 2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？[提示] 若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0.【例3】 (1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i0,故解得所以实数m的取值范围为m>.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．7 提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．1．a，b∈R，a＋bi＝0⇔a＝b＝0；a＋bi＞0⇔2．两个虚数不能比较大小．3．z是复数，z2≥0不一定成立，如i2＝－1＜0.4．复数问题实数化是解决复数问题的最基本、最重要的思想方法．1．判断正误(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(  )(2)复数i的实部不存在，虚部为0.(  )(3)bi是纯虚数．(  )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(  )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(  )A.，1        B.，5C．±，5D．±，1C [令得a＝±，b＝5.]3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为．或 [∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得或]4．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是0？[解] 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，7 ∴m＝5或－3.(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.7