新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第6章《6.3.5平面向量数量积的坐标表示》(含解析)

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示学习目标核心素养1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)4.能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点)1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养.2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.1．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝02.向量模的公式设a＝(x1，y1)，则|a|＝.3．两点间的距离公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.4．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cosθ＝＝.思考：已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？10 [提示]　设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　)A．3　　　B．－3　　　C.　　　D．－A　[a·b＝－x＋6＝3，x＝3，故选A.]2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________.1　2　[a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝＝2.]3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______.　[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝.]4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．　[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，所以a与b夹角的余弦值为＝＝.]平面向量数量积的坐标运算【例1】　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．10 (2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.①求a的坐标；②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.[思路探究]　(1)(2)①先由a＝λb设点a坐标，再由a·b＝10求λ.②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．(1)　[以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝，所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.](2)[解]　①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a·(b·c)＝0·a＝0，(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．数量积运算的途径及注意点10 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2C　[∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.]2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)A．5B．4C．3D．2A　[由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5.]向量模的坐标表示【例2】　(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于(　　)A．4B．5C．3D．4(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标．[思路探究]　综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解．(1)D　[由a∥b得y＋4＝0，∴y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4.故选D.]10 (2)[解]　①∵a＝＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5.②与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，即坐标为或.③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝.又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1.解得或∴e＝或e＝.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.3．已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.[解]　(1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，|a－2b|＝＝.(2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，∴c＝a－(a·b)·b＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，∴|c|＝＝.10 向量的夹角与垂直问题[探究问题]1．设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？[提示]　cosθ＝＝.2．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于多少？[提示]　由已知得a－b＝(1－x,4)．∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0.∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.【例3】　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　)A．(－2，＋∞)　　　　B.∪C．(－∞，－2)D．(－2,2)(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．[思路探究]　(1)可利用a，b的夹角为锐角⇔求解．(2)设出点D的坐标，利用与共线，⊥列方程组求解点D的坐标．(1)B　[当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B.](2)[解]　设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．∵点D在直线BC上，即与共线，10 ∴存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.②由①②可得即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)，∴||＝＝，综上，||＝，D(1,1)．1．将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．[解]　当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，此时a与b方向相反，夹角为180°，所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．由a·b＝－2＋k＜0得k＜2.由a与b不反向得k≠－，所以k的取值范围是∪.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．[解]　cos＝＝，10 即＝，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－或3.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cosθ＝求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cosθ求θ的值．2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.10 1．判断正误若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　　)(2)a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角．(　　)(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．(　　)(4)||表示A，B两点之间的距离．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.B　[a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.]3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________.－3　[a＋mb＝(2＋m,4＋m)，∵b⊥(a＋mb)，∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3.]4．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.[解]　(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.10 当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.综上，|a－b|＝2或2.10