新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第6章《6.3.2-6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示》(含解析)

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示学习目标核心素养1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)1.通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升数学抽象素养.2.借助向量的线性运算，培养数学运算素养.1．平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．(3)向量坐标与点的坐标之间的联系在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标．2．平面向量的坐标运算8 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有：加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要结论已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)1．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则a＋b＝(  )A．(8，－1)     B．(0,7)C．(7,0)D．(－1,8)B [a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)＝(0,7)．]2．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(  )A．(－2,1)B．(2，－1)C．(2,0)D．(4,3)[答案] B3．已知点A(1，－2)，点B(4,0)，则向量＝________.[答案] (3,2)4．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．(，) [由题意知a＝2cos45°i＋2sin45°j＝i＋j＝(，)．]8 平面向量的坐标表示【例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标．[解] (1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos45°＝4×＝2，AM＝OA·sin45°＝4×＝2，∴A(2，2)，故a＝(2，2)．∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，∴C，∴＝＝，即b＝.8 (2)＝－＝.(3)＝＋＝(2，2)＋求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．[解] 由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)．平面向量的坐标运算8 【例2】 (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(  )A．(－7，－4)  B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．(1)A [法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.](2)[解] a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋，－的坐标．[解] ∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，∴＋＝(－2,10)＋(－8,4)8 ＝(－10,14)，－＝(－8,4)－(－10,14)＝(2，－10).平面向量坐标运算的应用【例3】 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为(  )A.    B.C．(4,5)D．(1,3)C [设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝(m，n－2)，解得即点D(4,5)，故选C.]在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解．3．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________．(－1,2) [设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，所以(x，y)＝(－1,2)．]1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．如图所示．2．向量的坐标和其终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标相同．8 3．在进行向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．1．判断正误(1)相等向量的坐标相同．(  )(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标．(  )(3)一个坐标对应于唯一的一个向量．(  )(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．(  )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则＋的坐标是(  )A．(1，－2)     B．(7,6)C．(5,0)D．(11,8)B [因为＝(4,2)，＝(3,4)，所以＋＝(4,2)＋(3,4)＝(7,6)．]3．已知点A(－1，－2)，B(4,3)，则的坐标为(  )A．(3,1)B．(－5，－5)C．(5,5)D．(－5,5)C [＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)，故选C.]4．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B的坐标为(  )A．(－5,5)B．(5，－5)C．(－1,1)D．(1,1)B [＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)．]5．(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－8 ；(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b的坐标．[解] (1)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)．＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)，＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)，－＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)．(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)．8