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资料简介
8.6.3 平面与平面垂直学习目标核心素养1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小.(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理和性质定理,初步学会用定理证明垂直关系.(重点)3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.(重点)1.通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理,提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习二面角,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1.二面角的概念(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.(2)相关概念:①这条直线叫做二面角的棱,②两个半平面叫做二面角的面.(3)画法:(4)记法:二面角αlβ或αABβ或PlQ或PABQ.(5)二面角的平面角:若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角αlβ的平面角是∠AOB.(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角,二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.13 思考1:二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?[提示] 无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A′O′B′,即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.2.平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)画法:(3)记作:α⊥β.(4)判定定理:文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α,l⊂β⇒α⊥β思考2:两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗?[提示] 不一定,只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.3.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直符号语言⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线13 思考3:如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?[提示] 正确.若设α∩β=l,a⊂α,b⊂β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.1.如图所示的二面角可记为(  )A.αβl   B.MlN   C.lMN   D.lβαB [根据二面角的记法规则可知B正确.]2.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面(  )A.有一个B.有两个C.有无数个D.不存在C [经过l的任一平面都和α垂直.]3.平面α⊥平面β,直线l⊂α,直线m⊂β,则直线l,m的位置关系是.相交、平行或异面 [根据题意,l,m可能相交、平行或异面.]4.如图所示,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角BPAC的大小等于.90° [∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,∴∠BAC为二面角BPAC的平面角,又∠BAC=90°.所以所求二面角的大小为90°.]二面角的计算问题【例1】 如图,已知三棱锥ABCD的各棱长均为2,求二面角ACDB13 的余弦值.[解] 如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角ACDB的平面角.设点H是△BCD的重心,则AH⊥平面BCD,且点H在BM上.在Rt△AMH中,AM=×2=,HM=×2×=,则cos∠AMB==,即二面角的余弦值为.1.求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角;(2)证明这个角是二面角的平面角;(3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.2.确定二面角的平面角的方法:(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.13 1.如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.[证明] 因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=AD,所以∠ADC=30°.平面与平面垂直的判定【例2】 如图所示,在四面体ABCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.[证明] (1)法一:(利用定义证明)因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,所以△ASB和△ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,13 连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS为二面角ABCS的平面角.在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,所以SD=a,BD==a.在Rt△ABD中,AD=a,在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,所以∠ADS=90°,即二面角ABCS为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.法二:(利用判定定理)因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,所以SA=AB=AC,所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.因为△SBC为直角三角形,所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC.\证明面面垂直常用的方法:(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.13 2.如图所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求证:平面BDE⊥平面ABCD.[证明] 连接AC,设AC∩BD=O,连接OE.因为O为AC中点,E为PA的中点,所以EO是△PAC的中位线,所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.又因为EO⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCD.面面垂直性质定理的应用【例3】 如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB.[证明] 如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC,13 且平面PAB∩平面PBC=PB,AD⊂平面PAB,∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB.1.证明或判定线面垂直的常用方法:(1)线面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性质定理;(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a、b为直线,α为平面);(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面);2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.3.如图,四棱锥VABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.[证明] ∵平面VAB⊥平面ABCD,且BC⊥AB,平面VAB∩平面ABCD=AB,BC⊂平面ABCD.∴BC⊥平面VAB,又VA⊂平面VAB,∴BC⊥VA,13 又VB⊥平面VAD,∴VB⊥VA,又VB∩BC=B,∴VA⊥平面VBC,∵VA⊂平面VAC,∴平面VBC⊥平面VAC.线线、线面、面面垂直的综合应用[探究问题]试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.[提示] 垂直问题转化关系如下所示:【例4】 如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.[思路探究] (1)设出BD,分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE,即证DM为AE的中垂线即可.(2)(3)只需证明DM⊥平面ECA即可.[证明] (1)设BD=a,如图,作DF∥BC交CE于F,则CF=DB=a.因为CE⊥平面ABC,所以BC⊥CF,DF⊥EC,所以DE==a.13 又因为DB⊥平面ABC,所以DA==a,所以DE=DA.(2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MN綊CE綊DB.所以四边形MNBD为平行四边形,所以MD∥BN.又因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN,EC⊥MD.又DE=DA,M为EA的中点,所以DM⊥AE.所以DM⊥平面AEC,所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC,而DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.本例条件不变,试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小.[解] 如图延长ED交CB延长线于点N,连接AN,设BD=a,由例题知,CE=AC=BC=AB=2a,在△CEN中,由=知B为CN中点,∴CB=BN=2a.∴△ABN中,∠ABN=120°,∠BAN=∠BNA=30°,∴∠CAN=90°,即NA⊥CA.又EC⊥平面ABC,∴EC⊥NA,又CA∩CE=C,∴NA⊥平面ACE,∴NA⊥AE,NA⊥AC,且AN为平面ADE与平面ABC的交线.∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角,在Rt△ACE中,AC=CE,∴∠CAE=45°.所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.13 垂直关系的互化及解题策略:空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件,对于一些较复杂的问题,注意应用转化思想解决问题.1.求二面角大小的步骤简称为“一作、二证、三求”.2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质:通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,即线面垂直⇒面面垂直.(2)证题思路:处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题来解决.3.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的化归转化思想,其转化关系如下:1.直线l⊥平面α,l⊂平面β,则α与β的位置关系是(  )A.平行        B.可能重合C.相交且垂直D.相交不垂直C [由面面垂直的判定定理,得α与β垂直,故选C.]13 2.从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(  )A.互为余角B.相等C.其和为周角D.互为补角D [画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角,所以选D.]3.已知l⊥平面α,直线m⊂平面β.有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是(  )A.①②B.③④C.②④D.①③D [∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,∵m⊂β,∴l⊥m,故①正确;∵l∥m,l⊥α,∴m⊥α,又∵m⊂β,∴α⊥β,故③正确.]4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角ABCA1的平面角等于.45° [根据正方体中的位置关系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根据二面角的平面角定义可知,∠ABA1即为二面角ABCA1的平面角.又AB=AA1,且AB⊥AA1,所以∠ABA1=45°.]5.如图,棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.证明:平面AB1C⊥平面A1BC1.[证明] 因为BCC1B1是菱形,所以B1C⊥BC1,又B1C⊥A1B,且BC1∩A1B=B,13 所以B1C⊥平面A1BC1,又B1C⊂平面AB1C,所以平面AB1C⊥平面A1BC1.13

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