8.6.2 直线与平面垂直学习目标核心素养1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)4.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明．(重点)1.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α10
图形语言3.直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围[0°，90°]思考1：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？[提示] 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．4．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线思考2：过一点有几条直线与已知平面垂直？[提示] 10
有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )A．平面OAB B．平面OACC．平面OBCD．平面ABCC [由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b与α相交C [由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.]3．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．平行B．垂直C.相交不垂直D.不确定B [一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于．45° [如图所示，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]直线与平面垂直的判定10
【例1】 如图，在三棱锥SABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.10
1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.[证明] 设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故AN⊥平面PBM.直线与平面所成的角[探究问题]1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？[提示] 需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？[提示] 在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．【例2】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；10
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[证明] (1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝，∴tan∠A1CA＝.(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，∴∠A1BO＝30°，即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．10
[解] 连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，∵E是AB的中点，EO1∥AC，∴O1是BO的中点，∴EO1＝AO＝×＝，B1O1＝＝＝，∴tan∠EB1O1＝＝＝.求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．10
线面垂直性质定理的应用【例3】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.证明线线平行常用如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．2．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.10
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.1．线线垂直和线面垂直的相互转化：2．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直A [若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．]2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定10
A [因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．120°A [∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故选A.]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.[证明] 如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.10
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