新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第8章《8.5.3平面与平面平行》(含解析)

8.5.3　平面与平面平行学习目标核心素养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养.1．平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图所示．2．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行．思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？10 [提示]　不一定．它们可能异面．1．已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是(　　)A．相交　　　B．平行　　　C．异面　　　D．垂直A　[根据面面平行的判定定理可知a，b相交．]2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是(　　)A．平行　　　　　　　B．相交C．异面D．平行或异面A　[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]3．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则(　　)A.l∥βB.l⊂βC.l∥β或l⊂βD.l,β相交C　[假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.]4．已知长方体ABCDA′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)A．平行B．相交C．异面D．不确定A　[由面面平行的性质定理易得．]平面与平面平行的判定【例1】　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．10 求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[思路探究]　(1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．[解]　(1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊄平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.10 平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.1．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.[证明]　∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD，∴MQ∥BC.又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.平面与平面平行的性质[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？[提示]　必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；10 ③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？[提示]　联系如下：【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．[解]　因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.1.将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，＝，则AC＝.10 15　[由题可知＝⇒AC＝·AB＝×6＝15.]2．将本例改为：若点P在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD的长．[解]　与本例同理，可证AB∥CD.所以＝，即＝，所以BD＝24.3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G.求证：＝.[证明]　连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以＝＝.10 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：平行关系的综合应用【例3】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.[证明]　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD.10 1．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)基本事实4.(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．2.证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．如图，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.[证明]　由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.1．三种平行关系的转化.10 2．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．1．判断正误(1)α内有无数多条直线与β平行，则α∥β.(　　)(2)直线a∥α，a∥β.则α∥β.(　　)(3)直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β.(　　)(3)α内的任何直线都与β平行，则α∥β.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是(　　)A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交D　[如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①　　　　　②　　　　　③　　3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　)A．不一定存在与a平行的直线10 B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D　[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]4．用一个平面去截三棱柱ABCA1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.若A1A>A1C1，则截面的形状可以为．(填序号)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．②⑤　[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]5．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.求证：BC＝2EF.[证明]　因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以BC＝2EF.10