新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第8章《8.4.1平面》(含解析)

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1 平面学习目标核心素养1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点)1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养．2．通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养.1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．思考1：一个平面能否把空间分成两部分？[提示] 因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.9 ①     ②3．平面的表示法上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.4．平面的基本性质基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l思考2：经过空间任意三点能确定一个平面吗？[提示] 不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．5．推论推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(  )A．A∈l，l∉α    B．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α[答案] B2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(  )9 A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQA [表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A.]3．任意三点可确定平面的个数是(  )A．0   B．1C．2   D．1或无数个D [当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面．]立体几何三种语言的相互转化【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．三种语言的转换方法：9 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.[解] (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②.点线共面问题【例2】 如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.[证明] ∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β.∴直线a⊂β，点P∈β.∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α.9 解决点线共面问题的基本方法：2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．[解] 已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求证：直线AB，BC，AC共面．证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB⊂α.同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．点共线、线共点问题[探究问题]1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？9 [提示] 如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？[提示] 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．【例3】 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).[思路探究] →→→[证明] 因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.所以AB，CD必定相交于一点.设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.9 即AB，CD，l共点(相交于一点).本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．[证明] 若EF、GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事实3可得P∈BD.1．证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．2．证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点；(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．1．立体几何的三种语言图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换．2．三个基本事实的作用：基本事实1——判定点共面、线共面的依据；9 基本事实2——判定直线在平面内的依据；基本事实3——判定点共线、线共点的依据．3．证明几点共线的方法：首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上．1．判断正误(1)平面是处处平的面．(  )(2)平面是无限延展的．(  )(3)平面的形状是平行四边形．(  )(4)一个平面的厚度可以是0.001cm.(  )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．下列空间图形画法错误的是(  ) A    B    C     DD [遮挡部分应画成虚线．故D错，选D.]3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(  )A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈αB [点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.]4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．9 [证明] 因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.9