8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标核心素养1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．(重点、难点)2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)3．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)1.通过空间中两条直线的位置关系的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系的学习，提升逻辑推理的核心素养.1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：① ②2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？[提示] 不一定．可能平行、相交或异面．3．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外9
直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示思考：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？[提示] 不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．4．两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示1．不平行的两条直线的位置关系是( )A．相交 B．异面C．平行D．相交或异面D [由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]2．直线a在平面γ外，则( )A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝AD．a与γ至多有一个公共点D [直线a在平面γ外，则直线a与平面γ平行或相交，因此直线a与γ9
至多有一个公共点．]3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定B [∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线．]4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是．[答案] 平行空间中两条直线的位置关系【例1】 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是；②直线A1B与直线B1C的位置关系是；③直线D1D与直线D1C的位置关系是；④直线AB与直线B1C的位置关系是．[思路探究] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [根据题目条件知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”．所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”．]9
1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF( )A．平行 B．异面C．相交D．以上均有可能B [假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线．]空间中直线与平面的位置关系【例2】 (1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是( )A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内(2)下列说法中，正确的个数是( )①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；9
②经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0 B．1 C．2 D．3(1)B (2)C [(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．(2)易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．2．已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β无公共点．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．0B [①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面直线；②正确；③根据定义a与β无公共点，正确．]平面与平面位置关系的判定[探究问题]1．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？9
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？[提示] 不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.【例3】 (1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定(2)完成下列作图：①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．②在图中分别画出三个两两相交的平面．(1)C [逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．](2)[解] ①如图所示，9
②如图所示，1．平面与平面的位置关系的判断方法：(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.3．三个平面最多能把空间分为部分，最少能把空间分成部分．8 4 [三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．]4.试画出相交于一点的三个平面．[解] 如图所示(不唯一)．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式9
3．判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断；(2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果；(3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，达到准确的判断位置关系的目的．1．判断正误(1)在空间中，直线不平行就意味着相交．( )(2)直线在平面外是指直线与平面没有交点．( )(3)两个平面相交的时候，一定交于一条直线．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．圆柱的两个底面的位置关系是( )A．相交 B．平行C．平行或异面D．相交或异面B [圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．]3．下列命题：9
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为．①② [①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．]4．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系．[解] 根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．9
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