新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第10章《10.1.2事件的关系和运算》(含解析)

10.1.2 事件的关系和运算学习目标核心素养1.了解随机事件的并、交与互斥的含义．(重点)2．能结合实例进行随机事件的并、交运算．(重点、难点)1.通过对随机事件的并、交与互斥的含义的学习，培养学生数学抽象素养．2．通过随机事件的并、交运算，培养学生数学运算素养.事件的关系和运算(1)包含关系定义一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含义A发生导致B发生符号表示B⊇A(或A⊆B)图形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B(2)并事件(和事件)定义一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)含义A与B至少一个发生符号表示A∪B(或A＋B)图形表示8 (3)交事件(积事件)定义一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)含义A与B同时发生符号表示A∩B(或AB)图形表示(4)互斥(互不相容)定义一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B＝∅图形表示(5)互为对立定义一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为含义A与B有且仅有一个发生符号表示A∩B＝∅，A∪B＝Ω图形表示思考1：一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？[提示] A＝C∩D.思考2：命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”8 什么关系？(指充分性与必要性)[提示] 根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．1．许洋说：“本周我至少做完3套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为(  )A．至多做完3套练习题B．至多做完2套练习题C．至多做完4套练习题D．至少做完3套练习题B [至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．]2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(  )A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”C [A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.]3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(  )A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3C [设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.]8 事件关系的判断【例1】 (1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(  )A．①   B．②④   C．③   D．①③(2)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．(1)C [③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．故选C.](2)[解] 依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断②中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；③中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．8 (2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：(1)至少有1个白球，都是白球；(2)至少有1个白球，至少有1个红球；(3)至少有1个白球，都是红球．[解] 给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，(1)设B＝“都是白球”，B＝{(3,4)}，所以B⊆A.即A和B不是互斥事件．(2)设C＝“至少有一个红球”，则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，所以A和C不互斥．(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，因为A∪D＝Ω，A∩D＝∅，所以A和D为对立事件．事件的运算[探究问题]1．事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是如何构成的？[提示] 事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是由在事件A中，或者在事件B中的样本点构成的．2．事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是如何构成的？[提示] 事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是由既在事件A中，也在事件B中的样本点构成的．3．“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件”分别对应集合中的哪些关系或运算？[提示] “事件B包含事件A”对应于集合A是集合B的子集；“事件A8 与事件B的并事件”对应集合A和集合B的并集，“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集．【例2】 在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.[思路探究] (1)→(2)→[解] 在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}．B∩D＝A4＝{出现点数4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．1．在例2的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.[解] A∩C＝A，A∪C＝C＝{出现点数1,3或5}，B∩C＝A3＝{出现点数3}．2．用事件Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事件：①B∪D；②C∪D.[解] B∪D＝{出现点数2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.C∪D＝{出现点数1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.8 1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们之间既有区别，又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，但不可能两个都发生；而对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；但两个事件对立，它们一定互斥．2．进行事件间关系的判断或运算，可借助于图形．1．判断正误(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(  )(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．(  )(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．(  )[提示] (1)错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．(2)正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．(3)错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事件中，是对立事件的是(  )A．①       B．②④C．③D．①③C [从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]3．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为．② [①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．]8 4．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？[解] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球和2个白球，2个红球和1个白球或3个红球，故C∩A＝A.8