新教材人教版高中数学必修第二册同步讲解第10章《10.2事件的相互独立性》(含解析)

10.2 事件的相互独立性学习目标核心素养1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．(重点、易混点)2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(重点、难点)1.通过学习两个随机事件独立性的含义，培养学生数学抽象素养．2．通过利用随机事件的独立性计算概率，培养学生数学运算素养.1．相互独立事件的定义对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．2．相互独立事件的性质当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立．思考：(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？[提示] (1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(  )A．A与B，A与C均相互独立8 B．A与B相互独立，A与C互斥C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立A [由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.]2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是(  )A．0.64        B．0.56C．0.81D．0.99C [Ai表示“第i题做对”，i＝1,2，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.]3．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是． [由题意知P＝×＋×＝.]相互独立事件的判断【例1】 判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”．(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．[解] (1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．(2)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B8 )．故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．(2)利用性质：A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(  )A．互斥事件      B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件D [由于事件A1是否发生对事件A2发生的概率有影响，所以A1与A2是不相互独立事件．]相互独立事件概率的计算【例2】 在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．[解] (1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝××＝.(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝＋＝.8 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：(1)用恰当的字母表示题中有关事件；(2)根据题设条件，分析事件间的关系；(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；(4)利用乘法公式计算概率．2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率．[解] 记甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F，则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件，，.根据各盘比赛结果相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为P＝P(D∩E∩)＋P(D∩∩F)＋P(∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝P(D)P(E)P()＋P(D)P()P(F)＋P()P(E)P(F)＋P(D)P(E)P(F)＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.相互独立事件的概率的综合应用[探究问题]1．如果事件A，B相互独立时，那么事件A与事件，事件与事件B，事件与事件各是什么关系？[提示] 事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立．2．如果事件A，B相互独立，事件AB的对立事件是吗？8 [提示] 如果事件A，B相互独立，事件AB的对立事件是∪B∪A.【例3】 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率．[思路探究] 首先判断事件是否相互独立，然后利用相互独立事件的性质，互斥事件、对立事件的概率公式计算．[解] (1)记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.(1)2个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.(2)两个人都译不出密码的概率为P()＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝.(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.1．本例3条件不变，求至多1个人译出密码的概率．[解] “至多1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.2．本例3条件不变，求至少有1个人译出密码的概率．[解] “至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”8 ，所以至少有1个人译出密码的概率为1－P()＝1－P()P()＝1－×＝.事件间的独立性关系已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有事件表示概率A，B同时发生ABP(A)P(B)A，B都不发生P()P()A，B恰有一个发生(A)∪(B)P(A)P()＋P()P(B)A，B中至少有一个发生(A)∪(B)∪(AB)P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)A，B中至多有一个发生(A)∪(B)∪()P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件判断方法一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即A∩B＝∅概率公式事件A与B相互独立等价于P(AB)＝P(A)P(B)事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)2.在涉及“至多”“至少”等事件的概率时，常利用对立事件的概率公式求解．1．判断正误(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(  )8 (2)必然事件与任何一个事件相互独立．(  )(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．(  )[提示] (1)正确．不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．(2)正确．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．(3)错误．因为两个事件互斥，所以二者不能同时发生，所以这两个事件不相互独立．[答案] (1)√ (2)√  (3)×2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(  )A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥A [对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．]3．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(  )A.    B.    C.    D.C [两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.]4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．[解] 记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”8 为事件B(i＝1,2,3)．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P()＝1－P()P()＝1－×＝.8