9.2.2 总体百分位数的估计学习目标核心素养1.结合实例，能用样本估计百分位数．(重点)2．理解百分位数的统计含义．(重点、难点)1.通过对百分位数概念的学习，培养学生数学抽象素养．2．通过计算样本的百分位数，培养学生数学运算素养.1．第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．3．四分位数25%,50%,75%这三个分位数把一组数据由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．思考：(1)班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？(2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？[提示] (1)不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．(2)有70%的同学数学测试成绩在小于或等于85分．1．下列关于一组数据的第50分位数的说法正确的是( )A．第50分位数就是中位数B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%6
C．它一定是这组数据中的一个数据D．它适用于总体是离散型的数据A [由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．]2．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是．8．4 [因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.]3．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为． [样本数据低于10的比例为0.08＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10,14]内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝.]百分位数的计算【例1】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数．(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．[解] (1)将所有数据从小到大排列，得7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，6
则第25百分位数是＝8.15，第75百分位数是＝8.75，第95百分位数是第12个数据为9.9.(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15g，第50百分位数为8.5g,第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤(1)排列：按照从小到大排列原始数据；(2)计算i：计算i＝n×p%；(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，则这15人成绩的第80百分位是( )A．90 B．90.5 C．91 D．91.5B [把成绩按从小到大的顺序排列为：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位是＝90.5.]百分位数的综合应用6
[探究问题]1．第p百分位数有什么特点？[提示] 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.2．某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？[提示] 不一定．因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在．【例2】 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．[解] (1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y与x之间的函数解析式为y＝(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知6
解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量不超过400千瓦时的占80%，所以75%分位数为m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．根据例2的(2)题中求得的数据计算用电量的15%分位数．[解] 设15%分位数为x，因为用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001×100＝10%，用电量不超过200千瓦时的占30%，所以15%分位数为x在[100,200)内，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15，解得x＝125千瓦时，即用电量的15%分位数为125千瓦时．根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝n×p%；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为i项与第(i＋1)项数据的平均数．1．判断正误(1)若一组样本数据各不相等，则其第75%分位数大于第25%分位数．( )(2)若一组样本数据的第10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.( )6
(3)若一组样本数据的第24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.( )[提示] (1)正确．(2)错误．若一组样本数据的第10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.(3)正确．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．下列一组数据的第25百分位数是( )2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5A [把这组数据按照由小到大排列，可得：2．1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数．]3．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( )A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数C [因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C.]6
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