教学基木信息课题3.1.1倾斜角与斜率（第一课时）是否属于地方课程或校本课程否学科数学学段：髙屮年级高二脈觀数学教材•15名：普通高中课程标准实验教科15数学必修2出版社：人民教育出版社出版円期：2007年2月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者李娜北京市第二屮学通州分校13426235760实施者李娜通州分校指导者课件制作者李娜通州分校其他参与者
桁异思想与理论依据1、解析几何的木质是用代数方法研究阁形的几何性质。S线是最基木的几何阁形，根裾《普通M屮课程标准》，本节课合:平而直角坐称系中，结合具体阁形，探索确定直线位置的几何耍素；理解直线的倾斜角与斜率的概念，经历用代数方法刻画且线斜率的过程，从巾体会数形儿何的思想。2、安徳森认为，人类的人部分认知活动都可以分解为一系列的动作，屮的每一个动作都在一定的条件下被激活。所以，认知活动讨以采用“条件——动作”的产生式来描述。概念性知识的学习也可以表述为一系列产生式。本节课基于产生忒理论进行“闷题串”忒教学设计，并以问题驱动教学。教$背景分析教学内容：直线是最基本最简单儿何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，乂能为今后灵活运用解析几何的基木思想和基木方法打好坚实的基础。学好木节课，为今后继续学AI解析几何做好准备。教材中首先结合具体图形，提出确定且线位置的儿何要素，可以使一个点与直线的方向，从而导出且线倾斜角的概念，进一步结合円常斗:活中“坡度”M题迁移出直线的斜率。且线的倾斜角侧重于直线的几何直观形象，K线的斜率则侧重于用数来刻画直线的方句。学生情况：山于我们必修教材是按照必修1、4、5、3、2的顺序学习，学屮已经学习了三角函数的知识，学过了诱异公式1＜犯&-汉＞-131^以及正切函数曲线，而该内界在《普通高屮课程标准实验教科书数学必修2》第82页，因此学生在教师的提示K应该能够借助正切而线分析且线斜率随直线倾斜角变化的规律。学生主学的能力弱，W此需要在教师M题的引导下思考探究。教学方式：引导探究教学手段：黑板、幻灯片、投影仪技术准备：制作多媒体课件
教学目标知识目标：LI:学生经历倾斜角的形成过程，能tl然理解倾斜角的概念；通过对坡角、坡度概念回顾，能进行知识迁移，荻得莨线斜率的定义#•理解H线斜率的定义；在建立对莨线斜率与S线倾斜角关系的基础之上，能由直线的斜率求出直线的倾斜角，也能巾直线的倾斜角求出直线的斜率（斜率存在的条件下）.能力目标：建立且线斜率与直线倾斜角关系过程中帮助学牛.进-•步理解数形结合思想和分类讨论思想，初步体会川代数方法解决儿何问题的解析思想.情感目标：通过直线斜率概念由生活屮的“坡度”迁移牛成，U:学生体会数学蕴藏于牛活之屮；通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力.教学过程简述木节课由拱桥图八和行星运动的轨迹入手，引出解析儿何。直线是鉍某本敁简单的儿何图形，故山研究且线开始。之后教学…八个问题逐一•展开，帮助学生理解且线的倾斜角和斜率的概念，掌握直线斜率与倾斜角之间的关系。八个问题如下：问题1:平jftf直角坐标系中，怎样可以确定一条直线？一点能确定一条直线叫？过一点若确定一•条直线，还需要哪些量？W题2:请定义直线的倾斜角。问题3:在乎面直角华細系中，过一点P岡出不同的位置的直线，观察倾斜角奋儿种情况？并总结出倾斜角的范围。问题4:是不是每一条直线都有倾斜角？倾斜角为30直线有多少条？问题5:生活中坡的陡缓川什么量刻画？问题6:将上述问题迁移到数学屮，请给直线的斜率卜*定义。问题7:是不是每一条直线都柯斜率？斜率为1的直线有多少条？问题8:结合正切曲线，分析不同范围的倾斜角所对应的直线的斜率的取值情况。问题9:通过本节课的学习，你在知识与方法上有什么收获？
教学过程一、情境引入现实生活巾到处有美妙的曲线（PPT出示拱桥阁片，行星运行轨迹阁片），如何从数学角度深入研究这些曲线呢？这就需要进行fi的刻M。在数学史上数学家笛卡氺对这问题进行丁深入的恩考，创立了解析几何学。今天开始我们进入这个新的领域——解析几何，用代数方法解决几何W题。直线是基本的儿何圈形，我们就从研究直线开始。设计意图：让学生体会数学无处不在，并且引入解析几何的学习。二、探索新知师：〒曲直角來标系中，怎样可以确定一条且线？（出示〒面且角叱标系）生：两点确定一条直线师：一点能确定一条直线吗？PPT演示过平浙直角坐标系中的一点可以画出无数条直线。过一点若确定一条直线，还需要哪些量？耍指出鼠标指的这一条直线，除了点P以外，还需要知道什么量？生：（思考一会儿）角度。师：角度足由两条直线组成的。要产生角，除这条直线本身，耑要规定一条基准直线。你们觉得在平面直角坐标系屮取谁为基准莨线较好呢？（学生意见不统一，主要巢中在取x轴和y轴上）师：按照我们的惯，収*轴作为基准线更好。一条直线与x轴构成几个允？生:四个。师：我们取哪个角刻画直线倾斜的程度较好呢？生：锐角。师：好。（鼠标指一条人概和x轴成45°角的直线，然后提问）与％轴成45°角的直线有儿条？生：两条。（个别学生不加思考回答无数条）师：要想确定鼠标所指的这一条直线，还要加上什么？（学生回答不出）师：（引领学生分析与两条茛线与轴成45°角的方h'd）数宁屮的定义要从撒符合简洁性和统一性,因此我们习惯取直线的向上方向与*轴正向所成的角来表示直线的倾斜的州度，叫做直线的倾斜角。请定义直线的倾斜角。（PPT展示直线倾斜角的定义）直线的倾斜角定义:当直线/与轴相交时，取X轴作为基准，轴正方向与直线/向上方向之间所成的角6Z叫做直线/的倾斜角.
设计意图：通过直线的几何确定要素，逐步引出直线倾斜角的概念，让学生体会直线倾斜角概念的合理自然性，理解由一点及直线的倾斜角就可以确定一条直线。师：到此，要想确定一条直线，除了两点以外，还可以用一点加上倾斜角确定。倾斜角从“形”的州度刻M了直线的倾斜程度。师：下iM请同学们在坐标系中M出不冋位置的直线，观察倾斜角冇哪几种情况，并总结出倾斜角的范围。生：在平而直角平标系中画出不同位a的且线，大部分同学画出三种情况的且线，并总结出直线的倾斜角可以足锐角，钝角和直角。师：根裾人家完成的情况，凼出这样的儿种直线，请某某同学分别指出前三条直线的倾斜角。（某菜同学到前边准确地指出了前三条直线的倾斜角）师：看米大家对直线的倾斜角的理解比较到位。这里是不是还差一种位置关系的直线呢？生：（个别学生发现）还有与X轴平行的。师：（PPT出示四种情况的直线）规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0Q因此直线倾斜角的沿设计意I围是幺汉＜180°:让学生通过画图，自己数形结合发现直线倾斜角的范围，调动学生学习的积极性，加深对倾斜角的认识。足不足每一条且线都有倾斜角?定（也侖个别说不足）师：如果直线确定，它的倾斜角也就确矩丫，也就足说直线足与［0\180°）内的直线一一•对应.倾斜角为30*直线有多少条？它们是什么位置太系？生：无数条，互相平行。设计意图：通过两个问题的设置，帮助学生深入理解直线的倾斜角师生师生师:我们继续看这样一个问题：同学在生活中爬过山吗？:有（也有的回答没有）。:那步行或骑车爬过坡吗？:爬过:什么样的坡难爬？比较陡的坡难爬。那么坡的陡缓程度生活屮用什么景来刻M呢?（学生没冇回答的）
.sia是生活中的坡角，用它不付以刻画坡的陡缓程度？生：可以。师：坡角有点像我们刚才研究过的倾斜角。初屮学过坡度，坡度足怎么定义的？(学生回忆，但并无结果)W：(LL)升高量、前进量是W个数量，数量比仍是数量，可以用坡度反映坡的陡缓程度。坡度其实就是坡角的正切值(利用圆规演示坡角分别为0°、90°吋坡度情况)师：坡角相当丁数学屮的倾斜角，坡角6T的正切值到数学屮变成丫可以反映直线倾斜稈度的景，称为直线的斜率。将上述研究的I'uJ题迁移到数学中，请给且线的斜率下定义。生：直线倾斜角6Z的切值。师：是不是每一条直线都奋斜率？也就足说［0\180°)闪是不是所冇角都有正切值？生：(结合刚才圆规演示坡角分别为90°吋坡度情况很界易冋答)不足，倾斜角为90°的直线没有斜率。师：(将直线斜率的定义补充完整，完善板书)这也提示我们今n•用斜率A时耍考虑A是不是存在，倾斜角为90°的直线斜率A不存在。斜率为1的直线有多少条？生：有无数条，且平行。师：实际上，斜率从“数”的角度刻画了直线的倾斜程度。设计意图：将生活中“坡度”进行迁移，得到数学中直线斜率定义，让学生更容易理解直线斜率概念，并且体会数学知识源于生活。师：直线的倾斜角、斜率从两个方而放映了直线的倾斜程度，二者通过々=tan6r(6^90°)联系在一起、下而看这样的问题：(PPTili示练习)1、□知直线的倾斜角，试求它们的斜率：(1)30°；(2)60°；(3)45°；(4)150°；(5)135°:(6)120°.2、已知直线的斜率，试求它'们的倾斜角：(l)/c=V3；(2)|^|=^;(3)/:=-l生：依次U答。设计意图：通过练题，勝生i職(棚玲的理解，能由直线的ft職I角取出直孅潮率(余摔存在的条件下)，也能*直出囊姗蹴兔师：直线的倾斜角可以足锐角、钝角、直角，不同范围内的倾斜角对应的斜率取值有什么特点？
结合正切曲线，分析不同范|利的倾斜角所对成的苴线的斜率的収值情况。如果独立无法完成这个任务，可以和周围同学交流探讨。生：（思考，交流讨论）（虽然高一学习了正切函数，但是许多学生仍然忘记正切曲线，或者即使能够画出正切曲线，但也不知道如何结合曲线分析，教师边巡视边进行指导）（人概6、7分钟后，让一位对上述M题研究的较好的同学说明B己研究的结果（利用实物投影），该学生对问题的表述并不太清晰，因此教师借助这位学生所切曲线又重点分析一遍）师：下而我们一起写一下直线的斜率与倾斜角之间的关系：（1）当0°
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