高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.1.1倾斜角与斜率 教案

第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1.1倾斜角和斜率一、教学目标:1.知识与技能1）理解直线的倾斜角和斜率的概念．2）掌握斜率公式的推导过程，过两点的直线的斜率公式．2.过程与方法能对斜率和倾斜角的关系进行讨论，经历斜率公式的严格推导过程.3.情感、态度与价值观1）让学生初步感受用代数的方法表示几何概念，感受代数表达的抽象与简练．2）培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．二、教学重点与难点重点:理解直线的倾斜角、斜率的概念和掌握直线的倾斜率公式.难点：理解直线斜率公式的推导过程.三、教学方法启发、引导、讨论.四、教学用具三角板、多媒体投影仪五、教学过程（一）创设情景，导入新课我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线的位置能确定吗?过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?思考：(1)它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?（二）师生互动，探究新知1.直线的倾斜角的概念当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.问:倾斜角α的取值范围是什么?0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角α相等吗?答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角α.2.直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如,α=45°时,k=tan45°=1;α=135°时,k=tan135°=tan(180°－45°)=-tan45°=-1.学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.3.直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?在多媒体投影的辅助指导下，并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.公式推导（略）斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°,直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．(三)概念辨析，巩固提高例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线,图略)分析:已知两点坐标,而且,由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k=tanα0时,倾斜角α是锐角;而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.略解:直线AB的斜率k1=>0,所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率k2=-0.50,所以它的倾斜角α是锐角.例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.(四)小结(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2)直线的斜率公式.(五)课后作业P86练习：1,2，3，4.P89习题3.1A组：1,2,3,4,53.1.2两条直线的平行与垂直的判定一、教学目标 1.知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2.过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用代数方法来研究几何问题.3.情感、态度和价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣,欣赏解析几何的代数抽象美．二、教学重点、难点 重点：熟练掌握两条直线平行和垂直的条件 难点：研究两条直线的平行或垂直问题的判断．三、教学方法引导、启发、讨论，练习四、教学过程 （一）创设情景，导入课题复习已经学习的直线的倾斜角和斜率的概念,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．（二）师生互动，探究新知1.先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直讨论:两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．2.两条直线的斜率都存在时,两直线的平行设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是:两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助多媒体,让学生通过观察度量,感知α1,α2的关系)因为tgα1=tgα2即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等:即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α2＜180°，所以α1=α2．又因为两条直线不重合，两条直线平行l1∥l2．结论:两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2Ûk1=k2.注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有l1∥l2;反之则不一定. 3.两条直线的斜率都存在时,两直线的垂直下面我们研究两条直线垂直的情形．结论:两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意:结论成立的条件.即如果k1·k2=-1,那么一定有;反之则不一定.（三）概念辨析，巩固提高例1 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.分析:借助媒体动画展示,通过观察猜想:BA∥PQ,再通过计算加以验证.(图略)解:直线BA的斜率k1=,直线PQ的斜率k2=,因为k1=k2=,所以直线BA∥PQ.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.解同上.例3.已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系.解:直线AB的斜率,直线PQ的斜率,因为k1·k2=-1所以AB⊥PQ.例4.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),试判断三角形ABC的形状.分析:通过观察猜想:三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通过计算加以验证.（四）小结1.知识小结(1)两条直线平行或垂直的判定方法 (2)注意特殊情况特殊处理，如有斜率为零或斜率不存在的情况.(3)应用直线平行的条件,判定三点共线.2.思想方法：倾斜角、平行是几何概念，坐标、斜率是代数概念，解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题.（五）作业P89练习：1，2.P90习题3.1A组：8.B组：3，4.