直线的倾斜角与斜率教案一、课题直线的倾斜角与斜率一、教学目标正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解斜率公式的推导过程掌握过两点的直线的斜率公式；通过直线倾斜角的引入以及倾斜角和斜率关系的揭示，培养观察能力，数学语言的表达能力，数学交流能力和评价能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合的思想和辩证统一的观点。二、重点难点本节重点是直线的倾斜角，斜率概念和计算公式；难点是直线倾斜角和斜率的关系。三、教学方法讲授法四、教具三角板、幻灯片五、教学过程1.引入新课（出示幻灯片）我们小时候都一定玩过滑滑梯，会有这样的感受，当滑道和地面的夹角很大的时候，我们下滑得快一些，而当滑道和地面的夹角很小的时候滑得慢一些。那时，我们说夹角大的更陡一些。现在，我们已经学习过了直线，同时也学会了一种刻画平面上点的位置的工具——平面直角坐标系。那么，如果我们把滑道所在的直线看做平面中的直线，把地平面所在直线看做x轴，则我们该如何用数学语言来刻画这个“陡”呢？2.探索新知问题1对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗?分析:对,两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线,这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点,确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点,再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.注:平行于x轴或于x轴重合的直线的倾斜角为0°
问题2直线倾斜角的范围是多少?这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角,倾斜角刻画了直线倾斜的程度,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不相同的直线,其倾斜角也不相等.问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量:例如:坡度(比)=升高量/前进量能否用一个比值刻画斜率呢？如果α是一条直线的倾斜角,我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slop)记作:问题4(1)是不是所有的直线都有倾斜角?是（2）是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率,因为90°的正切不存在.(是锐角时为正,倾斜角是钝角时为负)反映了直线向右或向左倾斜的程度,特别是倾斜角是锐角时,斜率的值越大倾斜角也越大,倾斜角是钝角时也同样.探究：由两点确定的直线的斜率经过两点P1(x1，y1)，P2（x2，y2）的直线的斜率公式：k＝（x1≠x2）(给出幻灯片）推导：设直线P1P2的倾斜角是α，斜率是k，向量的方向是向上的(如上图所示).向量的坐标是(x2－x1，y2－y1).过原点作向量，则点P的坐标是(x2－x1，y2－y1)，而且直线OP的倾斜角也是α，根据正切函数的定义，tanα＝（x1≠x2）即k＝（x1≠x2）同样，当向量的方向向上时也有同样的结论.3.例题和练习
［例1］如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率.分析：对于直线l1的斜率，可通过计算tan30°直接获得，而直线l2的斜率则需要先求出倾斜角α2，而根据平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tanα2即可.解：l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝，∵l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l2的斜率k2＝tan120°＝tan（1８0°－60°）＝－tan60°＝－.评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定.［例2］直线经过点A(sin70°，cos70°)，B（cos４0°，sin４0°），则直线l的倾斜角为()A.20°B.４0°C.50°或70°D.120°参考公式：sinα－sinβ＝2cossin，cosα－cosβ＝－2sinｓiｎ.分析：若想求出l的倾斜角，则应先由斜率公式求出l的斜率.思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形.考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式，需要对分子、分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示.解：设l的倾斜角为α，则tanα＝又α∈［0，π］∴α＝120°故选D.接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况.课堂练习1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)α＝0°；（2）α＝60°(3)α＝90°；（４）α＝分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.
解：(1)∵tan0°＝0∴倾斜角为0°的直线斜率为0；(2)∵tan60°＝∴倾斜角为60°的直线斜率为；(3)∵tan90°不存在∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；(4)∵tanπ＝tan（π－）＝－tan＝－1，∴倾斜角为π的直线斜率为－1.2.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0°＜α＜90°解：作出y＝tanα在(0°，90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈（0°，90°），y＝tanα＞0，并且随着α的增大，y不断增大，｜y｜也不断增大.所以，当α∈（0°，90°）时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)90°＜α＜1８0°解：作出y＝tanα在(90°，1８0°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°），y＝tanα＜0，并且随着α的增大，y＝tanα不断增大，｜y｜不断减小.所以当α∈（90°，1８0°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.［师］针对此题结论，虽然有当α∈（0°，90°），随着α增大直线斜率不断增大；当α∈（90°，1８0°），随着α增大直线斜率不断增大，但是当α∈（0°，90°）∪（90°，1８0°）时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论.原因在于正切函数y＝tanα在区间(0，90°）内为单调增函数，在区间(90°，1８0°）内也是单调增函数，但在(0°，90°）∪（90°，1８0°)区间内，却不具有单调性.一、课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础.二、课后作业三、教学反思
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