旗智教育辅导预约电话26560062265610603.1直线的倾斜角与斜率【知识要点】1.直线的倾斜角与斜率:a.直线的倾斜角:当直线与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为。因此直线的倾斜角的取值范围是。b.我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,通常用k表示,及k=。(倾斜角是的直线没有斜率)2.直线的两点式斜率::已知两点,如果,则的斜率为k=(),如果,可知倾斜角为,可知其斜率不存在。3.直线的倾斜角与斜率之间的转化4.三点共线问题的斜率的处理5.两条直线的平行(学习如何判定)6.两条直线的垂直(学习如何判定)【知识应用】1.方法:a.清楚倾斜角定义中含有的三个条件:(1)直线方向向上(2)x轴的正方向(3)小于平角的最小正角(也可以从运动变化角度来看,直线的倾斜角是有x轴按逆时针方向转动到直线时所成的角。倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线相对于x轴正方向的倾斜程度。b.倾斜率是倾斜角的正切值,但要注意当倾斜角是时,直线的斜率不存在,但并不是该直线不存在,此时,直线垂直于x轴。【J】例1下列命题:(1)任一条直线都有倾斜角(2)任一条直线都有斜率(3)若直线的倾斜角为,则此直线的斜率为(4)直线的斜率为,则直线的倾斜角是(5)直线的倾斜角越大,它的斜率就越大(6)直线的倾斜角时,直线斜率分别在这两个区间上单调递增正确的命题序号是_______________【L】例2直线的斜率为k=1-(),求直线的倾斜角的取值范围【C】例3下列说法正确的是()A直线的倾斜角为,则此直线的斜率为B直线的斜率为,则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为,则>0D任一直线都有倾斜角,但它不一定有斜率5
旗智教育辅导预约电话26560062265610602.方法:记忆两点间的斜率公式,找出两点坐标,然后利用斜率公式求解,注意斜率不存在的情况【J】例1已知直线经过两点A(2,1),B(m,2),求直线的斜率【L】例2若,求经过两点(0,),(,0)的直线的倾斜角【C】例3已知A(-2,3)B(3,2),过点P(0,-2)的直线与线段AB没有公共点,求直线的斜率的取值范围。3.方法:a.倾斜角与斜率的转化:已知(),则k=(相当于求的正值);已知k,则依据=k且,求(相当于知值求角)b.倾斜角的范围与斜率的范围之间的对应关系:的范围与k的范围之间的变化,利用三角函数线,实现角的范围与正切值范围之间的转化,但应注意的取值范围。c.应用斜率公式的几何特征解题的步骤:(1)先画出符合题意的草图再结合图形来考虑(2)过P点作直线,设想绕P点旋转,考察的倾斜角和斜率的变化规律(3)通过对的斜率的变化规律的分析,不难发现是两个关键的数据(A、B分别为起止位置上的点)【J】例1若直线的倾斜角是连接P(3,-5)。Q(0,-9)两点的直线的倾斜角的两倍,求直线的斜率。【L】例2点M(x,y)在函数y=-2x+8图像上,当时,求:(1)的最大值和最小值(2)的取值范围【C】例3过点A(2,b)和点B(3,-2)的直线的倾斜角为,求b的值5
旗智教育辅导预约电话26560062265610604.方法:在解析几何中,通常利用斜率相等来处理三点共线的问题。因为直线上任意两点所确定的方向不变,即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等,所以只要算出三个点中两个与两个点组成的斜率相等,那么就得到三点共线。【J】例1已知三点A(a,2),B(5,1)C(-4,2a)在同一直线上,求a的值【L】例2已知A(x,2),B(5,1)C(-4,2x)在同一直线上,求x【C】例3两个定点和一个动点P(x,y),若P与、共线,则x、y应满足什么条件?5.方法:对于两条不重合的直线、,其斜率分别为,有//,(注意:上面两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合。当斜率不存在时,两条直线都垂直x轴且不重合,可推的,所以,两条不重合直线平行的判定结论就是(前提是拥有的斜率存在且不重合)或和斜率都不存在。【J】例1下列说法正确的有()A若两直线斜率相等,则两直线平行B若,则C若两直线中有一条直线的斜率不存在,令一条直线斜率存在,则两直线相交D若两直线斜率都不存在,则两直线平行【L】例2判断下列直线是否平行:经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线,与经过点P(1,0)且斜率为1的直线5
旗智教育辅导预约电话2656006226561060【C】例3试确定m的值,使过点A(m,1),B(-1,m)的直线过点P(1,2),Q(-5,0)的直线平行?6.方法:如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;反之,如果他们的斜率之积等于-1,那么他们互相垂直(注意:上面两条直线垂直的条件是斜率都存在且不等于0,否则由=的式子就没有意义。两条直线中,一条斜率不存在,一条斜率等于0,两条直线垂直。这样,两条直线垂直的判定就可叙述为:一般地,或一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于0.【J】例1判断下列直线是否垂直:经过两点A(3,1),B(-2,0)的直线与经过点P(1,-4)且斜率为-5的直线【L】例2试确定m的值,使过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过点P(1,2)Q(-5,0)的直线垂直。【C】例3已知四边形ABCD的顶点A(2,2+),B(-2,2),C(0,2-),D(4,2),求证四边形ABCD是矩形总结:(1)掌握直线倾斜角的定义、范围和斜率,及斜率的坐标公式,并将用这些公式和概念解决有关问题,重点利用斜率公式解题。5
旗智教育辅导预约电话2656006226561060(2)掌握用代数的方法判定两直线平行或垂直的方法,尤其要注意它们各自的前提条件。练习题:(1)已知直线的斜率为k=1-,mR,则直线的倾斜角的取值范围(2)若直线AB斜率为2,将直线绕点A按逆时针方向旋转,所得直线斜率是()A-3B3CD-(3)已知直线经过点A(2,a),B(a-1,3),直线经过点C(1,2),D(-2,a+2)a.若,求a的值b.若,求a的值(4)已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,),C(3,)共线,求a(5)在平行四边形ABCD中,已知A(3,-2)B(5,2)C(-1,4)求D的坐标5