1.3直线的倾斜角与斜率(学案)【考点分布】（1）直线的倾斜角与斜率；（2）两直线平行与垂直的判断.【考试要求】（1）理解直线的倾斜角与斜率的概念掌握过两点的直线斜率的计算公式；（2）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.【基础知识】1．直线的倾斜角：当直线与轴相交时，轴的______与直线______的方向之间所成的叫叫做直线的倾斜角；当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______.【感悟】（1）直线的倾斜角可以表示直线的______，它的的范围是_________________；（2）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是直线上的一个______以及它的_________，二者缺一不可.（3）直线的倾斜角是直线向上的方向与轴正向所成的___________正角.2．直线的斜率：一条直线的倾斜角的____叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即________.【感悟】（1）由于当时，无意义，故此时直线的斜率__________.（2）当时，，反之也成立.（3）当时，，反之也成立.3．过两点的直线的斜率公式：，是直线上的两点，则当时，直线的斜率公式.【感悟】（1）当时，直线与轴______，直线的倾斜角，直线的斜率__________，此时直线没有斜率公式，故斜率公式只能在斜率存在时才能用.（2）直线的斜率公式与，两点的顺序无关，故直线的斜率公式还可以表示为.4.两条直线平行或垂直的判定：如果两条不重合的直线、的都斜率存在且分别为，那么；.【感悟】(1)如果两条不重合的直线、的斜率都不存在，那么它们位置关系是_________；如果直线、的斜率一个不存在，另一个是0，那么那么它们位置关系是_________.(2)如果直线，那么直线、的斜率的关系是________________；如果直线，那么直线10
、的斜率的关系是________________.【基础练习】1若是直线的倾斜角，且，则的值是（）.()()()()2.斜率为2的直线经过，，三点，则的值是（）.()()()()3.顺次连结，，，四点所组成的图形是（）.()平行四边形()直角梯形()等腰梯形()以上都不对4直线平行与经过两点，的直线，则直线的倾斜角为_________.5已知直线的斜率为3，直线经过点，，若，则；若，则.6已知定点，以为直径的端点作圆，与轴有交点，求交点的坐标.【典型例题】题型一：直线的倾斜角例1设直线经过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转得到直线，那么的倾斜角为（）.当时，倾斜角为；当时，倾斜角为变式练习：若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是（）.题型二：直线的斜率公式例2已知直线过，且与以、为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围.10
变式练习：函数的结构很像斜率公式，你能否利用这一点探求这个函数的值域吗？题型三：斜率的应用例3点，，在同一直线上，求值.变式练习：已知过两点，的直线的斜率是，求的值.题型四：两直线平行与垂直问题例4已知直线过，直线过.(1)若，求的值；（2）若，求的值.变式练习：绕倾斜角为的直线上一点按逆时针方向旋转得到直线，且与线段的垂直平分线相互平行，其中，求的值.10
1．直线过两点，其中，则（）.与轴垂直与轴垂直过原点和第一、三象限的倾斜角为2.下面四个命题：（1）一条直线向上的方向与轴正向所成的角，叫做这条直线是倾斜角；（2）直线的倾斜角的取值范围是第一象限角或第二象限角；（3）已知直线经过两点，则直线的斜率；（4）与轴垂直的直线的斜率为0.其中正确命题的个数是（）.32203.若直线沿轴负方向平移3个单位，再沿轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线的斜率是（）.34.已知长方形的三个顶点坐标分别为，那么第四个顶点的坐标是（）.5.若三点共线，则.6.已知的三个顶点分别为，则为___________三角形.7.若经过点和的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围是___________________8.已知直线过，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是___________________.9.已知，（1）当为何值时，直线的倾斜角为锐角？（2）当为何值时，直线的倾斜角为钝角？（3）当为何值时，直线的倾斜角为直角？10.已知，，，，试判断四边形10
是否为梯形？如果是梯形，是否为直角梯形？1.3直线的倾斜角与斜率(教案)【教学目标】1．理解直线的倾斜角与斜率的概念掌握过两点的直线斜率的计算公式；2．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.【重点】直线的倾斜角与斜率；两直线平行与垂直的判断.【难点】斜率公式以及两直线平行与垂直判断的灵活应用.【基础知识】1.直线的倾斜角：当直线与轴相交时，轴的与直线方向之间所成的角叫做直线的倾斜角；当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.【感悟】（1）直线的倾斜角可以表示直线的，它的的范围是；（2）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是直线上的一个以及它的，二者缺一不可.（3）直线的倾斜角是直线向上的方向与轴正向所成的正角.2．直线的斜率：一条直线的倾斜角的叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即.【感悟】（1）由于当时，无意义，故此时直线的斜率.（2）当时，，反之也成立.（3）当时，，反之也成立.3．过两点的直线的斜率公式：，是直线上的两点，则当时，直线的斜率公式.【感悟】（1）当时，直线与轴，直线的倾斜角，直线的斜率，此时直线没有斜率公式，故斜率公式只能在斜率存在时才能用.10
（2）直线的斜率公式与，两点的顺序无关，故直线的斜率公式还可以表示为.4.两条直线平行或垂直的判定：如果两条不重合的直线、的都斜率存在且分别为，那么；.【感悟】（1）如果两条不重合的直线、的斜率都不存在，那么它们位置关系是；如直线、的斜率一个不存在，另一个是0，那么那么它们位置关系是.（2）如果直线，那么直线、的斜率的关系是；如果直线，那么直线、的斜率的关系是.【基础练习】1若是直线的倾斜角，且，则的值是（）.()()()()2.斜率为2的直线经过，，三点，则的值是（）.()()()()3.顺次连结，，，四点所组成的图形是（）.()平行四边形()直角梯形()等腰梯形()以上都不对4直线平行与经过两点，的直线，则直线的倾斜角为.5已知直线的斜率为3，直线经过点，，若，则；若，则6已知定点，以为直径的端点作圆，与轴有交点，求交点的坐标.解：以线段为直径的圆与轴的交点为，则.设，则，，解得，..【典型例题】题型一：直线的倾斜角例1设直线经过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转得到直线，那么的倾斜角为（）.10
当时，倾斜角为；当时，倾斜角为审题要津：借助直观图形，用倾斜角的定义求解.解：因为，显然未分类讨论，均不全面，不合题意，通过画图可知：当时，倾斜角为；当时，倾斜角为，故选（）.题后反思：求直线的倾斜角常用以下两种方法：（1）定义法：其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角.（2）分类法：解题时，往往把倾斜角分为四类讨论，即，，，.变式练习：若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是（）.题型二：直线的斜率公式例2已知直线过，且与以、为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围.审题要津：直线过定点，与线段的交点在线段上，用运动变化的观点，可求出符合条件的所有直线的斜率.解：设与的倾斜角分别为，直线的斜率是，直线的斜率是.当直线由变化到与平行的位置（点在线段上）时，它的倾斜角由增至，斜率的取值范围是.当直线由变化到与位置时，它的倾斜角由增至，斜率的变化范围是.故直线的斜率的取值范围是.题后反思：（1）数形结合是解析几何中的重要方法，解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的.（2）本题常被错误的解为，产生错误的主要原因是没有搞清倾斜角和斜率之间的变化关系.变式练习：函数的结构很像斜率公式，你能否利用这一点探求这个函数的值域吗？解：可以把函数值看成是连接定点与动点的直线的斜率，而点在直线上运动（点除外），因此函数的值域就是直线的斜率的变化范围直线的倾斜角的变化范围是.题型三：斜率的应用例3点，，在同一直线上，求值.10
审题要津：三点共线，则.解：由斜率公式有，，由得.题后反思：利用同一直线上任意不同两点所求得的斜率相等，列方程便可求的值.变式练习：已知过两点，的直线的斜率是，求的值.解：由已知有，即，解得.题型四：两直线平行与垂直问题例4已知直线过，直线过.(1)若，求的值；（2）若，求的值.审题要津：（1）正确应用两直线平行与垂直的条件；（2）由已知点的横坐标可知，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能不存在，因此应对的取值进行讨论.解：（1）因为，，由，即，解得，又当时，，所以不共线，故适合题意.（2），当时，，，，不合题意；当时，，因，则存在且，由得，即，解得.题后反思：（1）由比较时，应首先考虑斜率是否存在，当时，还应排除两直线重合的情况；(2)由比较，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0.变式练习：绕倾斜角为的直线上一点按逆时针方向旋转得到直线，且与线段的垂直平分线相互平行，其中，求的值.解：根据题意可知，直线的倾斜角为，所以，又，直线与线段的垂直平分线相互平行，，即，，解得.1．直线过两点，其中，则（）.与轴垂直与轴垂直10
过原点和第一、三象限的倾斜角为2.下面四个命题：（1）一条直线向上的方向与轴正向所成的角，叫做这条直线是倾斜角；（2）直线的倾斜角的取值范围是第一象限角或第二象限角；（3）已知直线经过两点，则直线的斜率；（4）与轴垂直的直线的斜率为0.其中正确命题的个数是（）32203.若直线沿轴负方向平移3个单位，再沿轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线的斜率是（）.34.已知长方形的三个顶点坐标分别为，那么第四个顶点的坐标是（）.5.若三点共线，则.6.已知的三个顶点分别为，则为三角形.7.若经过点和的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围是8.已知直线过，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是.9.已知，（1）当为何值时，直线的倾斜角为锐角？（2）当为何值时，直线的倾斜角为钝角？（3）当为何值时，直线的倾斜角为直角？解：（1）当时，直线的倾斜角为锐角，，即，，解得，时，直线的倾斜角为锐角.同理（2）当，即时，直线的倾斜角为钝角.（3）直线的倾斜角为直角，则直线的斜率不存在，故应当用点与的横坐标相等，即，解得，所以当时，直线的倾斜角为直角.10.已知，，，，试判断四边形是否为梯形？如果是梯形，是否为直角梯形？10
解：直线的斜率，直线的斜率，，又显然直线和直线不重合，，即直线的斜率，直线的斜率，，即与不平行，四边形是梯形.又,，即梯形是直角梯形.10
微信/支付宝扫码支付