高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.1.1倾斜角与斜率 教案

30福建中学数学2015年第3期头脑里构建知识网络的同时发展起来的思维动作结才能有效地调节自已的思维方式，进而提高元认知构．这些都是学生在教学过程中主动去质疑、去发能力和思维水平．现、去探究、去归纳、去判断、去概括……的必然参考文献结果．所以一定要加强过程的“自我”意识，主动参与、[1]涂荣豹，王光明，宁连华．新编数学教学论[M]．华东师范大学出版社，自觉反思、不断体验，才能改进自己的思维过程，2006[2]郭思乐，喻纬．数学思维教育论[M]．上海教育出版社，1993课例：直线的倾斜角与斜率刘志勇广东省（516007）1教学设计背景力．同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在提高课堂效率．基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究函3课堂教学实录数的性质，初步的数形结合知识也足以让学生理解3.1提出问题，引入新课确定直线的几何要素．展示数学教育家波利亚名言：学习任何东西，直线方程的学习安排在三角函数之前，因此，最好的途径是自己去探究发现．提出阅读是探究知倾斜角的正切等于斜率，这一事实还不能直接引识的重要手段．揭示本节课研究方式：自主阅读，入．在研究斜率与倾斜角的关系时，由于没有三角探索研究！函数的知识，学生接受起来比较困难，这是本节的问题1如图1，在平面直角坐标系内，你认为难点．在这部分内容的研究中，鼓励学生小组讨论，直线l的位置由哪些条件确定？更多地给学生动手的机会，让学生在实践中体验两设计意图引导学生复习学过的相关知识，寻找者的联系，学生充分利用特值验证，或斜率公式作新内容的生长点．出解释，教师再利用《几何画板》演示变化关系，预设的回答：两点确定一条直线．给学生更加深刻的直观印象，从而突破难点．师生活动：引导学生发现：两点确定一条直线，2教学设计理念而这两点确定的其实是直线上的一点及其方向，如对现在的高中生来说，他们的思维能力、阅读图2．能力已基本成熟．其中相当多的学生可以把握正确lllylyy321的阅读方法来理解教材内容的大意和结构，有目的POxOxOPx地检索有关的阅读信息．而由于数学语言的特殊性，图1图2图3数学阅读要求学生在阅读中必须不断地同化和顺应问题2在直角坐标系中，任何一条直线都有一新的教学概念、术语及符号，不断进行假设、预测、个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来表示这个检验、推理和想象，不断地观察、比较、分析、综倾斜程度呢？合、抽象和概括．所以教师要适时指点，围绕重点设计意图探索描述直线的倾斜程度的几何要展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解，引导他素，由此引出倾斜角的概念．们在阅读探究中主动获取知识，形成能力．师生活动：引导学生把重点放在“如何描述直线综合以上分析，教法上本着“教是为了不教”的教倾斜程度”的问题上．启发学生可以用角来区别直线学思想，主要采用自学、阅读、问题探究式教学与的位置．学习方法．通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉师：已知直线l经过点P，直线l的位置能够确数学问题并解决问题，让学生自主探索与合作交流定吗？相结合，使学生从懂到会到悟，提高解决问题的能生：过一点P可以作无数条直线l，l，l，123 2015年第3期福建中学数学31它们都经过点P，组成一个直线束，故不能够确定y2y1y2y1．直线l的位置（如图3）．x1x2x2x13.2领悟概念，探究公式师：好！太棒了！当P1，P2位置交换时（如图6、定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，7），直线PP的斜率公式是否改变？12x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直学生分小组合作探究得出：不论上述P，P相12线l的倾斜角．yy21对位置如何，直线PP的斜率公式是ktan12特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定x2x10．范围：0180．当直线l与x轴垂直时，(xx)．1290．师：当直线与x轴平行或重合时，上述公式还成师：已知直线l的倾斜角给定，直线l的位置能立吗？为什么？够确定吗？众生：成立，因为xx，yy，所以直线的1212生：当直线a////bc，它们的倾斜角相等，所斜率k0（如图8）．以一个倾斜角不能确定一条直线．师：当直线与y轴平行或重合时，上述公式还成师：很好！确定平面直角坐标系内的一条直线立吗？为什么？位置的几何要素是什么？众生：不成立，因为xx，yy，直线的斜1212生：（1）一个点P和一个倾斜角；（2）两个率k不存在（如图9）．点．设计意图通过自己的探索，完善两点式斜率公师：很好！掌声鼓励！日常生活中，还有没有yy21式k(xx)，检验得到公式与P，P两点表示倾斜程度的量？1212xx21生：坡度（比）=升高量/前进量．的顺序无关．l定义一条直线的倾斜角(90)的正切值yyyA33lP2PyA121P1BAOA2x叫做这条直线的斜率．即ktan．OxOP1xOCxA4ll2图8图9图10图114（1）当直线l与x轴平行或重合时，0，ktan00；3.3知识应用，深化理解（2）当直线l与x轴垂直时，90，斜率k不例1如图10，已知A(32)，，B(41)，，C(0，1)，存在．求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角师：给定两点Px(，y)，Px(，y)，xx，11122212是钝角还是锐角．如何求直线PP12的斜率？211生：k0，由数形结合可知其倾AB学生分小组合作探究，教师适时点拔引导．3(4)7生：当倾斜角为锐角时（如图4），设Qx(，y)，121斜角为锐角；同理k0，其倾斜角为钝角；BC|PQ|yy2221ktantanPPQ．21k10，其倾斜角为锐角．|PQ|xxAC121Py师：斜率的正负与倾斜角大小有着怎样的关y2yP2P1yP1PP1QP1P2Q2系？OxOQxOxOQx图4图5图6图7生：当ktan0时，倾斜角是锐角；当师：很好！如果倾斜角是钝角呢？直线PP的ktan0时，倾斜角是钝角；当ktan0时，12斜率公式是否改变呢？倾斜角是0．生：当为钝角时（如图5），设Qx(，y)，k例2在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率21分别为1，1，2，及3的直线l，l，l及l．|PQ2|1234tantan(180)tantanPPQ21|PQ|小组探究：要画出经过原点的直线l，只要再找1出l上的另外一点M，而M的坐标可以根据直线l 32福建中学数学2015年第3期的斜率确定．上，通过教师的指点，围绕重点难点展开讨论和交生：设Ax(，y)是直线l上的一点，根据斜率公流，鼓励学生发表独立见解，引导他们在阅读探究1111y0中主动获取知识，形成能力，改变过去我们熟悉的“教1式有1，从而有xy，不妨设x1，则y1，1111x10师讲学生听”，“教师问学生答”及大量演练习题的模于是A的坐标是(11)，，过原点及A(11)，的直线即为式．本课例符合学生的认知规律和心理特点，重视11l．同理l是过原点及A(1，1)的直线；l是过原点思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思维方1223及A(12)，的直线；l是过原点及A(1，3)的直线（如法的融入渗透．本课例中，以下几个方面有待改进：344图11）．（1）要注重学生参与知识的形成过程，动手、3.4回顾反思，归纳小结动口、动脑相结合，使他们“读”有所思，“学”有所获，引导学生从知识和方法两方面总结本节课所学增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣．内容，教师补充完善，布置练习．（2）要有效指导学生阅读的方法，鼓励学生做（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？它探究式阅读，而非被动接受式阅读．使其养成“边阅们有什么关系？读边思考”的阅读习惯，这样有利于其数学能力的发（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？展，进而促进其终身学习能力的提高．（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，（3）要注重师生、同学之间的交流，使学生在到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程充满合作机会的群体交往中，学会沟通、互助、分中主要体现了什么数学思想？享和合作，实现知识、情感、态度和价值观的完善．两点5教学评析直线倾斜角斜率一点一方向探究已知两点求直线的斜率公式，这既是这节课的一个重点，又是后继内容（直线的方程）学习设计意图培养学生反思的习惯，鼓励学生对研的一个要点．事实上，它揭示了同一直线上的点所究的问题进行质疑和概括．具有的一般规律：过任意两点确定的倾斜角是相同师生活动：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的的，为学生学习直线方程做了铺垫，同时说明为什两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）．利用确定么有了直线的倾斜角，还需要引入斜率这个概念的直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式（倾必要性．这一点学生在后继内容学习的过程中会慢斜角和两点）．在倾斜角和斜率相互转化的过程中慢地体会到．由倾斜角到斜率，再对斜率的坐标化，体现了数形结合的数学思想．强调“坐标法”是解决解这正是解析法思想的所在．要注意的是要通过对在析几何问题的基本方法．坐标系下的直线的四种位置及P，P两点位置顺序设计意图让学生大胆发言，归纳总结本节课的12收获．教师及时点评，充分肯定学生的学习成果，的讨论，渗透分类讨论的思想．鼓励学生阅读思考，进一步提高自主学习的能力．分两点确定一条直线是学生知道的，如何认识直层次布置作业，让各层次学生均得以发展．角坐标系这一“参照系”下确定直线的几何要素，对学4教学反思生来说有点困难．所以在教学过程中可以引导学生本节课例的教学设计始终本着这样的理念：“不发现两点确定的其实是直线上的一点及其方向，再但要教给学生知识，更重要的是教给学生获取知识通过对直线方向的正确描述的探讨，形成倾斜角的的能力”，而阅读是自学的重要形式，自学能力的核概念，明确一点和一角是确定直线的几何要素．心是阅读能力．因此，教会学生学习的重头戏就是直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之教会学生阅读，培养其阅读能力．希望能做到授人一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，以渔，而非授人以鱼．所以，本课既是一堂新课又是用以坐标法研究直线及其几何性质的基础．本课是一堂自学阅读课．整个教学过程，鼓励学生自主有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用．倾斜阅读，探索研究学习，从激发学生学习的内驱力入角是从几何的角度描述了直线倾斜程度．课本结合手，把课堂还给学生．提倡在学习读书思考的基础具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念．斜率是从代数角度描述了直线倾 2015年第3期福建中学数学33斜程度．课本借助“坡度”引出直线斜率的概念．定义直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直斜率公式．线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系．直线可本节课使学生在轻松愉快的气氛中掌握了知识由两点来确定，就是说，任给直线上两点Px(，y)，又学到了思想方法，既拓宽了视野又增长了才干．教111Px(，y)(xx)那么这条直线唯一确定，进而它的学模式新颖，富有弹性，实现了对学生能力的培养，22212倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这体现了数学思维的价值．两点的坐标有内在联系，因此直线的斜率就可以用（注：本文为广东省教育科学“十二五”规划课题《高中数学新课程课堂教学典型案例研究》项目成果之一，课题批准号：2012YQJK192）同课异构，在比较中探究数学课的本质——由两节高三数学一轮复习课想到的沈亚军江苏省江阴市华士高级中学（214421）同课异构早已成为各级各类教研活动的主要形G：推导用到什么方法呢？式．听课者通过比较容易评价课堂、寻求课堂本生：倒序相加法，错位相减法．真．近日笔者参加了江阴市高三数学复习研讨会，然后提出问题：已知数列{}a，{}b，a2n1，nnn并听了课题为《数列求和》的两节课．现将体会总n*b3，nN，求数列{}c的前n项的和S．nnn结如下：（1）caaa．nnn1n21课堂再现学生一看蒙住了，不是熟悉的类型．案例1Z老师课前准备了导学案，学生做了，老G提示：c8n312n22n3，S=8(1323nn师已批改．课堂使用PPT课件辅助教学．首先复习n3)12(1222n2)2(12n)3n，这里需等差、等比数列的概念、通项公式和求和公式，然要补充两个公式，你们老师没讲过吗？后快速解决自我检测的三个小题．接着按顺序讲解生：没有．以下三个例题及其变式：G补充公式并问到：这里的求和用了什么方法？11111例1求数列1，3，5，7，，(2n1)，生：分组求和法．n2481621（2）c．的前n项的和．（分组求和法）naaann1n21例2已知数列{}an的通项公式an2，求学生又蒙住了，也是不熟悉的类型．4n11{}an的前n项的和Sn．（裂项相消法）G降低难度cn，学生还是不会．G再降aann1例3已知等差数列{}a，满足a4，aan26811n低难度c，学生会了，G再回过来，c18．（1）求{}a的通项公式；（2）求{a2}的前n项nnnnnn(1)aann1的和S．（错位相减法）n1111()，学生很兴奋，会通过例题讲解，复习数列求和的几种方法：公(2n1)(2n1)22n12n1式法、倒序相加法、分组求和法、裂项相消法、错1了．G乘势回到c，经过思考，两三个n位相减法．每讲完一道例题，都有方法总结，变式aaann1n2迁移．并在课堂上展示了学生完成学案时出现的几学生会了．种典型错误，揭示错误原因．111生：用裂项相消法c(n案例2G老师来自外校，未准备学案和课件．他aaaaaaann1n2n2nnn1首先复习等差、等比数列通项公式，推导求和公式．