2022年人教A版高中数学必修二3.1.2《两条直线平行与垂直的判定》教案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定教材分析《直线的倾斜角和斜率》是高中解析几何的开始内容，是贯彻和突出数形结合思想的开场白，是学生领会解析几何实质的开始.初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的，了解研究数学的基本方法.直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示.建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质.本节内容是在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，重点学习直线与直线在平面中的特殊位置关系.只有掌握了两条直线的位置关系，才能更进一步的来学习直线方程，教材利用两条直线的倾斜角和斜率的关系引出了两条直线的平行和垂直的位置关系这一节课的知识结构非常系统，有利于学生形成规律性的知识网络.课时分配本节内容用一课时的时间完成.教学目标重点:是根据直线的斜率判定两条直线平行和垂直.难点:探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系.知识点:掌握直线与直线的位置关系，用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法.能力点:通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．教育点:通过本节课的学习，可以增强我们用“联系”的观点看问题，进一步增强代数与几何的联系，培养学好数学的信心.自主探究点:两直线平行或垂直的条件.考试点:把两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.易错易混点:两直线平行或垂直的条件.拓展点:感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用.教具准备教学案、多媒体课件课堂模式学案导学可编辑 1、什么叫倾斜角？它的范围是什么？2、什么叫斜率？如何计算呢？3、已知直线li经过A1,3、B1,1,直线I2经过C2,2、D1,0①计算直线卜、I2的斜率；②在直角坐标系中画出直线11、12.请学生口述答案，老师强调注意的条件.通过解决问题3,学生发现k1k2,并观察出11与12是平行的，学生很自然发现两条直线的斜率与位置有着某种联系，从而引出本节课的课题^【设计意图】一方面通过回顾，巩固上节课的教学内容，并为本节课做好知识方面的准备.另一方面也为引出本节课的课题.同时也是为了培养学生发现问题，提出问题的能力，激发学生运用旧知探求新知的欲望也是为了体现由特殊到一般的认知规律.二、探究新知1、两条直线平行的判定：【师生活动】我们约定：若没有特别说明，说“两条直线11与12”时，一般是指两条不重合的直线.1.思考：11//12时，k1，k2满足什么关系?解：Q11//12tan1tan2k111//12k2k1k2（斜率存在）反之,右kk2（11」2不重合）11//12k1k2（斜率存在、11,12不重合）可编辑可编辑+…1112一人」一一注意：若直线和可能重合时，我们得到k,k211//12,或11与12重合可编辑可编辑（用斜率证明三个点共线时，就需要用到这个结论）【设计意图】通过学生观察两条直线平行倾斜角相等探究两条直线平行与斜率之间的关系，学生通过观察，探究与讨论的方式，调动了学生的积极性，激发学生的思维，体会解析几何的思想^【师生活动】2.思考：1112时，k1与k2满足什么关系?(1,290)可编辑可编辑解：2190雕221tan1901tan1探究：当k〔k21时，11与12的位置关系如何?可编辑 由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于一反之，如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直即1112kik21【设计意图】学生从熟知的两条直线垂直的图形，利用三角形的外角和定理，找到两条直线的倾斜角之间的关系，探究出两条直线垂直与斜率之间的关系.通过引导学生观察，分析，讨论动手证明结论，学生从中体会学习数学与几何之间的关系，激发学生学习数学的热情^三、理解新知用斜率判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至本章内容始终的一种思想方法【设计意图】为准确的运用新知，作必要的铺垫四、运用新知例1:已知A2,3,B4,0,P3,2,Q1,3，试判断直线AB与直线PQ的位置关系，并证明你的结论.解：解：直线BA的斜率kBA301，2(4)2直线PQ的斜率kpQ3211(3)2可编辑可编辑因为kBAkQP，所以直线BA//PQ【设计意图】直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范.体会用代数方法解决几何问题的思想方法.例2:已知四边形ABCD的四个顶点分别为A0,0,B2,1,C4,2,D2,3，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明可编辑可编辑解：如图，AB边所在直线的斜率kABCD边所在直线的斜率kcD102012可编辑 BC边所在直线的斜率kBCDA边所在直线的斜率kDA2(1)3422033kABkCD,kBCkDA，AB//CD,BC//DA因此，四边形ABCD是平行四边形..因此，应联想到四边形有哪些【设计意图】本题是明确给出图形的相应顶点坐标，要判断形状并加以证明特殊形状，如平行四边形、矩形、正方形、梯形等，借助刚探究出的直线平行与垂直的等价条件，从斜率入手来加以判定.能够培养学生应用新知独立解决数学问题的能力例3:已知解：kABA6,0、63B3,6、P0,3、Q6,6,试判断直线AB与直线PQ的位置关系.2kpQ3(6)63kAB?kPQ60-12BAPQ【设计意图】直接应用新知解决数学问题，同时也为学生规范表达数学过程做出示范.体会用代数方法解决几何问题的思想方法.例4:已知A5,1、解:kABkBC1(1)15U2B1,1、C2,3三点，试判断ABC的形状.1221kAB?kBC1ABBC即ABC90因此ABC是直角三角形.【设计意图】培养学生应用新知独立解决数学问题的能力.(2)体会用代数方法解决几何问题的思想方法五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学方法?学生：知识上：两直线平行和垂直的判定思想上：数形结合思想.教师：感悟并形成平行和垂直两个概念，会运用判定条件解决简单的题目，并理解判定条件的含义及推导过程. 【师生活动】学生总结，教师板书.【设计意图】培养学生的概括和归纳能力六、布置作业.要求学生会运用判定条件解决简单的题目，并理解判定条件的含义及推导过程1.阅读教材P86P892.书面作业(1)必做题：课本P89练习1、2(2)选做题：例1.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A0,1,B1,0,C3,2求第四个顶点D的坐标.分析：由四边形ABCD为长方形可知，ADCD,AD//BC,再利用两条直线垂直与平行的判定得kAD?kCD1,kADkBC，列方程组求解.解:设第四个顶点D的坐标为x,y，由题意可知，ADCD,AD//BC,「.kAD?kCD1，且kADkBCy1y21x0x3,y120x031,解得x2,y3.・•・第四个顶点的坐标为2,3.例2.经过点P2,1?Q3,a的直线与倾斜角为45的直线垂直.则aa(1)1解析：由题意知3(2),a6.例3.试确定m的值,使过点A2m,2,B2,3m的直线与过点P1,2,Q6,0的直线(1)平行；(2)垂直.23m2解：直线PQ的斜率为kPQ4直线AB的斜率为kAB组」.722m1QABPQ.kPQkAB3m22,解得m2.22m7523m22若ABPQ,则kABkPQ1即可编辑1,722m解得m9.4 【设计意图】使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.巩固深化新学知识.七、教后反思1.本教案的亮点通过学生的自主探究、合作交流以及与学生的问答交流，发现其思维过程在鼓励的基础上,纠正偏差并对其进行定性评价.2.通过应用来检查学生的学习效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足^3.本节课的弱项是时间较紧，容量较大，不一定能照顾到绝大多数学生^八、板书设计§3.1.2两条直线的平行与垂直两条直线平行两条直线垂直例1例2例3例4