2022年人教A版高中数学必修二3.1.2《两条直线平行与垂直的判定》word教案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．2．过程与方法(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法．(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣．(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．●重点难点重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．●教学建议本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系．核心内容是两条直线平行与垂直的判定．结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想．●教学流程创设问题情境，引出问题：直线的平行与垂直同其斜率间分别存在什么关系？⇒⇒⇒最新范本,供参考！ ⇒⇒⇒⇒课标解读1.理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点)2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点)3．利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．(易错点)两条直线平行与斜率之间的关系【问题导思】 1．若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？【提示】 两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立．2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对吗？【提示】 不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在． 两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示两条直线垂直与斜率之间的关系【问题导思】 最新范本,供参考！ 1．如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，若l1⊥l2，则α1与α2之间存在什么关系？【提示】 α2＝α1＋90°.2．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？【提示】 直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在． 两条直线垂直与斜率的关系对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示两条直线平行关系的判定 判断下列各组中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可．【自主解答】 (1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行．(2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，最新范本,供参考！ ∴l1∥l2或l1与l2重合．(3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，k1＝k2，而kMA＝＝－2≠－1，∴l1∥l2.(4)l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2. 判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行． 已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则x＝________.【解析】 ∵直线l1的斜率不存在，且l1∥l2，∴l2的斜率也不存在．∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同，∴x＝2.【答案】 2两条直线垂直关系的判定 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．【思路探究】 求出斜率，利用l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】 (1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2.最新范本,供参考！  使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．【解析】 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan30°＝，设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1，∴k2＝－.【答案】 －直线平行与垂直关系的综合应用 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A、B、C、D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．最新范本,供参考！ 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标．2．证明两直线平行时，仅k1＝k2是不够的，注意排除重合的情况．3．判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形． 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．【解】 四边形ABCD是平行四边形．证明如下：如图所示，AB边所在直线的斜率kAB＝＝－，CD边所在直线的斜率kCD＝＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝＝，DA边所在直线的斜率kDA＝＝.所以kAB＝kCD，kBC＝kDA，由题意知AB∥CD，BC∥DA.故四边形ABCD是平行四边形．分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用 (12分)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．(1)若l1∥l2，求a的值；最新范本,供参考！ (2)若l1⊥l2，求a的值．【思路点拨】 (1)斜率存在,→→(2)→→【规范解答】 设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.2分(1)若l1∥l2，设直线l的斜率为k1，则k1＝－.又k1＝，则＝－，∴a＝1或a＝6.4分经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.(2)若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意.8分②当k2≠0时，l2的斜率存在，此时k1＝.∴由k2k1＝－1，可得a＝3或a＝－4.所以，当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.12分1．由l1∥l2比较k1，k2时，应首先考虑斜率是否存在，当k1＝k2时，还应排除两直线重合的情况．2．由l1⊥l2比较k1，k2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况．3．在l1∥l2及l1⊥l2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识．最新范本,供参考！ 1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l1∥l2⇔k1＝k2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．3．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．1．已知直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，则直线l2的斜率k2＝(  )A．不存在       B.C．2D．－【解析】 ∵l1∥l2且k1＝2，∴k2＝2.【答案】 C2．已知直线l1的斜率k1＝－，直线l2的斜率k2＝，则l1与l2的位置关系为(  )A．平行B．重合C．垂直D．无法确定【解析】 ∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.最新范本,供参考！ 【答案】 C3．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.【解析】 ∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.【答案】 －1 74．(1)已知直线l1经过点M(－3,0)，N(－15，－6)，l2经过点R(－2，)，S(0，)，试判断l1与l2是否平行．(2)l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，问l1与l2是否垂直？【解】 (1)∵kMN＝＝，kRS＝＝，∴l1∥l2.(2)∵k1＝tan45°＝1，k2＝＝－1，∴k1·k2＝－1.∴l1⊥l2.一、选择题1．下列说法正确的有(  )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A．1个   B．2个   C．3个   D．4个【解析】 当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.【答案】 A2．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为(  )A．0B．－6C．6D．3【解析】 直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6.【答案】 C3．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则(  )最新范本,供参考！ A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°C．|α1－α2|＝90°D．α1＋α2＝180°【解析】 如图所示．由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，∴|α1－α2|＝90°.【答案】 C4．过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为(  )A．垂直B．平行C．重合D．以上都不正确【解析】 过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．故选A.【答案】 A5．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(  )A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形【解析】 kAB＝＝－，kAC＝＝，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．【答案】 C二、填空题6．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的序号是________．【解析】 ∵kAB＝－，kCD＝－，最新范本,供参考！ kAC＝，kBD＝－4，∴kAB＝kCD，kAC·kBD＝－1，∴AB∥CD，AC⊥BD.【答案】 ①④7．经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．【解析】 由题意知，直线MN的斜率存在，∵MN⊥l，∴kMN＝＝，解得m＝.【答案】 8．(2013·洛阳高一检测)已知平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(－2,3)，C(0，－4)，则点D的坐标为________．【解析】 设D(x，y)，由题意可知，AB∥CD且AD∥BC.∴kAB＝kCD且kAD＝kBC，∴解得∴D点的坐标为(3，－6)．【答案】 (3，－6)三、解答题图3－1－59．如图3－1－5，在▱OABC中，O为坐标原点，点C(1，3)．(1)求OC所在直线的斜率．(2)过C作CD⊥AB于D，求直线CD的斜率．【解】 (1)∵点O(0,0)，C(1,3)，∴OC所在直线的斜率kOC＝＝3.(2)在▱OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC，最新范本,供参考！ ∴kOC·kCD＝－1，kCD＝＝－.故直线CD的斜率为－.10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．【解】 OP边所在直线的斜率kOP＝t，QR边所在直线的斜率kQR＝＝t，OR边所在直线的斜率kOR＝－.PQ边所在直线的斜率kPQ＝＝－，∵kOP＝kQR，kOR＝kPQ，∴OP∥QR，OR∥PQ，∴四边形OPQR是平行四边形．又kQR·kOR＝t×(－)＝－1，∴QR⊥OR.∴四边形OPQR是矩形．11．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)．【解】 设所求点D的坐标为(x，y)，如图．由于直线AB的斜率kAB＝3，直线BC的斜率kBC＝0，则kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直．故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边．(1)若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD.∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在．从而有x＝3.又∵直线AD的斜率kAD＝kBC，∴＝0，即y＝3.此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)，(2)若AD是直角梯形的直角边，则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝，直线CD的斜率kCD＝，又由于AD⊥AB，∴·3＝－1.①最新范本,供参考！ 又∵AB∥CD，∴＝3.②由①②可得此时AD与BC不平行．综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或(，)． 已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．【思路探究】 分别计算直线AB和CD的斜率；注意斜率不存在的情形．【自主解答】 ∵A，B两点纵坐标不等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.而m＝－1时C，D纵坐标均为－1，∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意；②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式kAB＝＝，kCD＝＝.∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，即·＝－1，解得m＝1.综上m的值为1或－1.1．本题以A，B两点的纵坐标不相等为切入点，按直线AB是否与x轴垂直为标准分类讨论，从而做到不重不漏．2．在点的坐标用参数表示的题目中，由于参数的取值可能导致直线的斜率不存在，或使斜率为0，故求解时，常采用分类讨论的思想求解． 已知三点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)，若AB⊥BC，求m的值．【解】 设直线AB，BC的斜率分别为k1，k2，则k2＝＝.①当m－2＝0，即m＝2时，k1不存在，此时，k2＝0，则AB⊥BC；最新范本,供参考！ ②当m－2≠0，即m≠2时，k1＝.由k1k2＝·＝－1，解得m＝－3.综上，若AB⊥BC，则m＝2或m＝－3【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】最新范本,供参考！