2022年人教A版高中数学必修二3.1.2《两条直线平行与垂直的判定》word教案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线与直线的位置关系．(2)掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．两条直线平行与斜率之间的关系【问题导思】 1．若两条直线平行，其倾斜角什么关系？反之呢？【提示】 两条直线平行其倾斜角相等；反之不成立．2．有人说：两条直线平行，斜率一定相等．这种说法对吗？【提示】 不对，若两直线平行，只有在它们都存在斜率时，斜率相等，若两直线都垂直于x轴，虽然它们平行，但斜率都不存在． 两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示两条直线垂直与斜率之间的关系【问题导思】 1．如图，直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，若l1⊥l2，则α1与α2之间存在什么关系？【提示】 α2＝α1＋90°.2．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？【提示】 直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l210 的倾斜角为90°，其斜率不存在． 两条直线垂直与斜率的关系对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示两条直线平行关系的判定 判断下列各组中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可．【自主解答】 (1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行．(2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合．(3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，k1＝k2，而kMA＝＝－2≠－1，∴l1∥l2.(4)l1与l2都与x轴垂直，∴l1∥l2. 判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．10 已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则x＝________.【解析】 ∵直线l1的斜率不存在，且l1∥l2，∴l2的斜率也不存在．∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同，∴x＝2.【答案】 2两条直线垂直关系的判定 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．【思路探究】 求出斜率，利用l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】 (1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2. 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．【解析】 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan30°＝，设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1，∴k2＝－.【答案】 －10 直线平行与垂直关系的综合应用 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A、B、C、D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明确定目标．2．证明两直线平行时，仅k1＝k2是不够的，注意排除重合的情况．3．判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形． 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．【解】 四边形ABCD是平行四边形．证明如下：如图所示，AB边所在直线的斜率kAB＝＝－，CD边所在直线的斜率kCD＝＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝＝，DA边所在直线的斜率kDA＝＝.所以kAB＝kCD，kBC＝kDA，10 由题意知AB∥CD，BC∥DA.故四边形ABCD是平行四边形．分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用 (12分)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．【思路点拨】 (1)斜率存在,→→(2)→→【规范解答】 设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.2分(1)若l1∥l2，设直线l的斜率为k1，则k1＝－.又k1＝，则＝－，∴a＝1或a＝6.4分经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.(2)若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意.8分②当k2≠0时，l2的斜率存在，此时k1＝.∴由k2k1＝－1，可得a＝3或a＝－4.所以，当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.12分1．由l1∥l2比较k1，k2时，应首先考虑斜率是否存在，当k1＝k2时，还应排除两直线重合的情况．2．由l1⊥l2比较k1，k2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况．3．在l1∥l2及l1⊥l2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识．4．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l1∥l2⇔k1＝k2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．5．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．6．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．10 1．已知直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，则直线l2的斜率k2＝(  )A．不存在  B.C．2D．－【解析】 ∵l1∥l2且k1＝2，∴k2＝2.【答案】 C2．已知直线l1的斜率k1＝－，直线l2的斜率k2＝，则l1与l2的位置关系为(  )A．平行B．重合C．垂直D．无法确定【解析】 ∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.【答案】 C3．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.【解析】 ∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.【答案】 －1 74．(1)已知直线l1经过点M(－3,0)，N(－15，－6)，l2经过点R(－2，)，S(0，)，试判断l1与l2是否平行．(2)l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，问l1与l2是否垂直？【解】 (1)∵kMN＝＝，kRS＝＝，∴l1∥l2.(2)∵k1＝tan45°＝1，k2＝＝－1，∴k1·k2＝－1.∴l1⊥l2.一、选择题1．下列说法正确的有(  )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；10 ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A．1个   B．2个   C．3个   D．4个【解析】 当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.【答案】 A2．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为(  )A．0B．－6C．6D．3【解析】 直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6.【答案】 C3．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则(  )A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°C．|α1－α2|＝90°D．α1＋α2＝180°【解析】 如图所示．由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，∴|α1－α2|＝90°.【答案】 C4．过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为(  )A．垂直B．平行C．重合D．以上都不正确【解析】 过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．故选A.【答案】 A5．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(  )A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形【解析】 kAB＝＝－，kAC＝＝，10 ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．【答案】 C二、填空题6．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的序号是________．【解析】 ∵kAB＝－，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4，∴kAB＝kCD，kAC·kBD＝－1，∴AB∥CD，AC⊥BD.【答案】 ①④7．经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．【解析】 由题意知，直线MN的斜率存在，∵MN⊥l，∴kMN＝＝，解得m＝.【答案】 8．(2013·洛阳高一检测)已知平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(－2,3)，C(0，－4)，则点D的坐标为________．【解析】 设D(x，y)，由题意可知，AB∥CD且AD∥BC.∴kAB＝kCD且kAD＝kBC，∴解得∴D点的坐标为(3，－6)．【答案】 (3，－6)三、解答题图3－1－59．如图3－1－5，在▱OABC中，O为坐标原点，点C(1，3)．(1)求OC所在直线的斜率．(2)过C作CD⊥AB于D，求直线CD的斜率．【解】 (1)∵点O(0,0)，C(1,3)，∴OC所在直线的斜率kOC＝＝3.(2)在▱OABC中，AB∥OC，10 ∵CD⊥AB，∴CD⊥OC，∴kOC·kCD＝－1，kCD＝＝－.故直线CD的斜率为－.10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR的形状，并给出证明．【解】 OP边所在直线的斜率kOP＝t，QR边所在直线的斜率kQR＝＝t，OR边所在直线的斜率kOR＝－.PQ边所在直线的斜率kPQ＝＝－，∵kOP＝kQR，kOR＝kPQ，∴OP∥QR，OR∥PQ，∴四边形OPQR是平行四边形．又kQR·kOR＝t×(－)＝－1，∴QR⊥OR.∴四边形OPQR是矩形．11．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)．【解】 设所求点D的坐标为(x，y)，如图．由于直线AB的斜率kAB＝3，直线BC的斜率kBC＝0，则kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直．故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边．(1)若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD.∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在．从而有x＝3.又∵直线AD的斜率kAD＝kBC，∴＝0，即y＝3.此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)，(2)若AD是直角梯形的直角边，则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝，直线CD的斜率kCD＝，又由于AD⊥AB，∴·3＝－1.①又∵AB∥CD，∴＝3.②由①②可得此时AD与BC不平行．综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或(，)．已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m10 的值．【思路探究】 分别计算直线AB和CD的斜率；注意斜率不存在的情形．【自主解答】 ∵A，B两点纵坐标不等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.而m＝－1时C，D纵坐标均为－1，∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意；②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式kAB＝＝，kCD＝＝.∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，即·＝－1，解得m＝1.综上m的值为1或－1.1．本题以A，B两点的纵坐标不相等为切入点，按直线AB是否与x轴垂直为标准分类讨论，从而做到不重不漏．2．在点的坐标用参数表示的题目中，由于参数的取值可能导致直线的斜率不存在，或使斜率为0，故求解时，常采用分类讨论的思想求解． 已知三点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)，若AB⊥BC，求m的值．【解】 设直线AB，BC的斜率分别为k1，k2，则k2＝＝.①当m－2＝0，即m＝2时，k1不存在，此时，k2＝0，则AB⊥BC；②当m－2≠0，即m≠2时，k1＝.由k1k2＝·＝－1，解得m＝－3.综上，若AB⊥BC，则m＝2或m＝－310