高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 教案

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1．理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点)2．会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点)3．能利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直．(易错点)[基础·初探]教材整理1 两条直线平行与斜率的关系阅读教材P86“练习”以下至P87“例3”以上部分，完成下列问题．设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．(  )(2)若l1∥l2，则k1＝k2.(  ) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．(  )(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．(  )【解析】 (1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确．【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×教材整理2 两条直线垂直与斜率的关系阅读教材P88“例5”以上部分，完成下列问题．对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(  )A．平行 B．重合C．相交但不垂直D．垂直【解析】 设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，故l1与l2垂直．【答案】 D[小组合作型]两条直线平行的判定 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．【精彩点拨】  先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行．【自主解答】 (1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．(3)由题意知，k1＝tan60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合．2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解．[再练一题]1．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值.【解】 当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意； 当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝＝，kMN＝＝.因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1.当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合．综上，m的值为0或1.两条直线垂直的判定 (1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．【精彩点拨】 (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．【自主解答】 (1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意．当l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式，得k1＝＝，k2＝＝.由l1⊥l2，知k1k2＝－1，即×＝－1，解得a＝0.综上所述，a的值为0或5. 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1．一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．2．二代：就是将点的坐标代入斜率公式．3．三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．[再练一题]2．(1)l1经过点A(3,4)和B(3,6)，l2经过点P(－5,20)和Q(5,20)，判断l1与l2是否垂直；(2)直线l1过点(2m,1)，(－3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，－2)，若l1与l2垂直，求实数m的值．【解】 (1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，∴l1⊥l2.(2)①当两直线斜率都存在，即m≠－且m≠1时，有k1＝，k2＝.∵两直线互相垂直，∴×＝－1.∴m＝－1.②当m＝1时，k1＝0，k2不存在，此时亦有两直线垂直．当2m＝－3，m＝－时，k1不存在，k2＝＝＝－，l1与l2不垂直．综上可知，实数m＝±1.[探究共研型] 直线平行与垂直的综合应用探究1 已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？【提示】 如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．探究2 已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？【提示】 以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)． 已知四点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.【精彩点拨】 画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图．由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－，kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又∵kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．1．利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．2．由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．[再练一题]3．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．【解】 设D(x，y)，则kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kDA＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，所以kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，所以解得即D(10，－6).1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(  ) A．－3B．3C．－D.【解析】 因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.【答案】 B2．过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为(  )A．垂直B．平行C．重合D．以上都不正确【解析】 过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．【答案】 A3．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2的斜率k2＝m2＋－4，若l1∥l2，则m的值为________．【解析】 由题意得m2＋－4＝tan60°，解得m＝±2.【答案】 ±24．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝______，y＝________.【解析】 ∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.【答案】 －1 75．已知四点A(2,2＋2)，B(－2,2)，C(0,2－2)，D(4,2)，顺次连接这四点，试判断四边形ABCD的形状．(说明理由)【解】 ∵kAB＝＝， kBC＝＝－，kAD＝＝－，kCD＝＝，∴kAB＝kCD，kBC＝kAD.∴AB∥CD且BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形． 亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧！