高中数学人教A版必修2 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 PPT课件

3.1.2两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2:平行垂直等价条件l1∥l2⇔k1=k2l1⊥l2⇔k1k2=-1 【思考】两直线互相垂直,一定能得到两直线的斜率之积等于-1吗?提示:不一定,因为两直线互相垂直,可能其中一条直线的斜率不存在. 【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若两条直线l1∥l2,则()(2)若两条直线中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则两条直线垂直.() (3)若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.() 提示:(1)×.因为两直线的斜率可能不存在.(2)√.直线的斜率不存在,与x轴垂直,直线的斜率为0,与x轴平行,故两条直线垂直.(3)√.两条直线的斜率都不存在,都与x轴垂直,故两条直线平行. 2.若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,有下列命题:()①若l1∥l2,则斜率k1=k2;②若斜率k1=k2,则l1∥l2;③若l1∥l2,则倾斜角α1=α2; ④若倾斜角α1=α2,则l1∥l2.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4 【解析】选D.①由于斜率都存在,若l1∥l2,则k1=k2,正确;②因为两直线的斜率相等即斜率k1=k2,得到倾斜角的正切值相等即tanα1=tanα2,即可得到α1=α2,所以l1∥l2,正确;③因为l1∥l2,根据两直线平行,得到α1=α2,正确;④因为两直线的倾斜角α1=α2,根据同位角相等,得到l1∥l2,正确;所以正确的个数是4. 3.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为60°,则直线l2的倾斜角为________. 【解析】因为直线l1的倾斜角为60°,所以直线l1的斜率k1=tan60°=,又l1⊥l2,设直线l2的斜率为k2,则k1·k2=-1,所以k2=-,所以直线l2的倾斜角为150°.答案:150° 类型一 两条直线平行的判定与应用【典例】1.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.平行或重合 2.直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为()A.(3,0)B.(-3,0)C.(0,-3)D.(0,3)3.已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若PQ∥MN,求m. 【思维·引】1.利用斜率关系判断.2.利用点P在y轴上,设出坐标后求值.3.利用两直线平行,斜率相等列方程求解. 【解析】1.选D.因为=tan135°=-1,=-1,所以直线l1与l2平行或重合.2.选D.设P(0,y),因为l1∥l2,所以=2,所以y=3. 3.因为P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),所以kPQ=,kMN=,所以当m=-2或-1时不成立,因为PQ∥MN,所以kPQ=kMN,所以=,即m2-m=0,解得m=0或m=1. 【内化·悟】利用斜率判定直线平行时需要注意什么问题?提示:应注意直线的斜率是否存在. 【类题·通】1.关于直线平行关系的判定(1)分别计算斜率,判断斜率关系.(2)条件中出现“两条直线l1,l2”,是指两条不重合的直线,否则可能重合. 2.直线平行关系的应用已知平行关系可得出斜率相等,表示斜率时要考查斜率不存在的情况是否符合题意,如果符合应单独讨论. 【习练·破】下列两条直线l1,l2平行的有________.①l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);②l1的斜率为2,l2经过点A(1,1),B(2,2); ③l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2);④l1经过点E(-3,2),F(-3,10),l2经过点P(5,-2),Q(5,5). 【解析】①kAB=kCD=所以kAB=kCD,所以l1∥l2.②所以l1不平行于l2.③=tan60°=,所以所以l1∥l2. ④l1,l2斜率均不存在且不重合,所以l1∥l2.答案:①③④ 类型二 两条直线垂直的判定与应用【典例】1.两条相互垂直的直线l1,l2的斜率是方程x2-3x+m-1=0的两根,则m的值为()A.1B.-1C.2D.0 2.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),如果l1⊥l2,则a的值为____. 【思维·引】1.借助根与系数的关系,利用互相垂直的直线的斜率关系求值.2.利用相互垂直的直线的斜率乘积为-1解题. 【解析】1.选D.设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为直线l1,l2的斜率是方程x2-3x+m-1=0的两根,所以k1k2=m-1=-1,所以m=0. 2.若a-2=3,a=5,则直线AB与x轴垂直,此时C(2,3),D(-1,3),直线CD与x轴平行,符合题意,若a≠5,则由=-1,解得a=-6.所以a=5或-6.答案:5或-6 【内化·悟】判断两直线垂直时需要注意什么问题?提示:需要关注直线斜率是否存在,如果不存在可根据图象判断. 【类题·通】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看:看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步. (2)二代:将点的坐标代入斜率公式.(3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应对参数进行讨论.提醒:若已知点的坐标含有参数,利用两直线的垂直关系求参数值时,要注意讨论斜率不存在的情况. 【习练·破】已知点A(0,1),B(4,2),若点P在坐标轴上,则满足PA⊥PB的点P的个数是()A.1B.2C.3D.4 【解析】选C.当点P在x轴上时,设其坐标为P(x,0),当x=0,4时,PA与PB都不垂直,故x≠0,4.由PA⊥PB,可得即x2-4x+2=0,由于Δ=(-4)2-4×1×2=8>0,故方程有两解,有两个点符合题意;当点P在y轴上时,PA无斜率,只有PB的斜率为0,才满足PA⊥PB,故P的坐标为(0,2).综上可知:满足PA⊥PB的点P的个数是3. 【加练·固】已知A(0,-1),B(-2a,0),C(1,1),D(2,4),若直线AB与直线CD垂直,则a的值为________. 【解析】易知a≠0,因为kCD==3,kAB=,AB⊥CD,所以kCD·kAB=×3=-1,解得a=.答案: 类型三 平行与垂直的综合应用角度1利用平行、垂直求点的坐标【典例】已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,则点D的坐标为______. 【思维·引】根据AB⊥CD得kAB·kCD=-1,由AD∥BC得kAD=kBC,列出方程组进而求解. 【解析】设点D的坐标为(x,y),由已知得直线AB的斜率kAB=1,直线CD的斜率kCD=,直线BC的斜率kBC=-,直线AD的斜率kAD=,由AB⊥CD,且AD∥BC,得所以点D的坐标为(10,-6).答案:(10,-6) 【素养·探】利用斜率解决有关平行、垂直的综合问题时,常常用到核心素养中的数学运算,利用斜率转化,通过运算解决求值、判断等问题.本例中,若将条件变为AB∥CD,且AD⊥BC,试求点D的坐标. 【解析】由题意所以点D的坐标为(11,15). 角度2平行、垂直在图形中的应用【典例】已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,求A点坐标. 【思维·引】首先根据图形确定平行、垂直的边,再利用斜率求值. 【解析】(1)若∠A=∠D=90°,如图①,由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1). (2)若∠A=∠B=90°,如图②.设A(a,b),则kBC=-3,kAD=,kAB=.由AD∥BC⇒kAD=kBC,即=-3;由AB⊥BC⇒kAB·kBC=-1,即·(-3)=-1.解得故A综上所述:A点坐标为(1,-1)或. 【类题·通】关于直线平行,垂直的综合应用(1)设出点的坐标,利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解.(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解,图形的形状不确定时要分情况讨论. 【习练·破】1.已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,1)D.(3,8) 【解析】选A.设点D(m,n),直线AB,DC,AD,BC的斜率分别为kAB,kDC,kAD,kBC,由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有kAB=kDC,kAD=kBC,所以解得m=3,n=4.所以顶点D的坐标为(3,4). 2.在直角梯形ABCD中,已知A(-5,-10),B(15,0),C(5,10),AD是腰且垂直两底,求顶点D的坐标. 【解析】设D(x,y),因为DC∥AB,所以又因为DA⊥AB,所以=-1.由以上方程组解得:x=-11,y=2.所以D(-11,2). 【加练·固】已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0),求点D的坐标,使直线CD⊥AB,且CB∥AD. 【解析】设点D的坐标为(x,y),由已知得,直线AB的斜率kAB=3,直线CD的斜率kCD=,直线CB的斜率kCB=-2,直线AD的斜率kAD=,由CD⊥AB,且CB∥AD,得所以点D的坐标是(0,1).