高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 导学案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定疱丁巧解牛知识·巧学一、两直线平行的判定1.如果两条直线的倾斜角都是90°，即斜率均不存在，那么这两条直线平行.2.如果两条直线的倾斜角都不是90°，即斜率均存在，那么有l1∥l2k1=k2.3.在判断两条直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等,则二者平行；若二者斜率均不存在，仍然平行.误区警示这里所说的“两条直线”是指不重合的两条直线.以后若不加特殊说明，教材中“两条直线”均指不重合的两条直线.若直线l1、l2可能重合时，我们得到k1=k2用上述的结论可以证明三点共线问题.二、两直线垂直的判定1.如果两条直线l1、l2中的一条与x轴平行(或重合)，另一条与x轴垂直(也即与y轴平行或重合)，即两条直线一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，那么这两条直线互相垂直.2.如果两条直线l1、l2的斜率都存在，且其中一个不为0，那么l1⊥l2k1k2=-1.方法归纳在判断两条直线是否互相垂直时，如果两条直线的斜率都存在且不为0，则由乘积是否为-1来判断是否垂直；如果一条直线的斜率不存在，另一条的斜率为0，则二者仍垂直.问题·探究问题1三条直线两两相交，它们能否构成三角形？探究:不一定，当三条直线交于同一点时，它们就不能构成三角形.问题2如何由两个二元一次方程的系数判断所表示的直线的平行、垂直、相交、重合？探究:设l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，记D1=A1B2-A2B1，D2=B1C2-C1B2，D3=A1A2-B1B2.当D1≠0时，l1与l2相交；当D1=0,D2≠0时，l1与l2平行；当D1=D2=0时，l1与l2重合；当D3=0时，l1与l2垂直.问题3木工为了锯木板，需在木板上弹出墨线.第一次弹出了一条线，记为l1，为防第一次弹线不清晰，第二次在原位置重弹一次，得直线l2；若平行移开，弹第三次线，记为l3；若换成与l2垂直方向弹线，得直线l4，问l1与l2、l3、l4的关系如何？探究:由题意容易分析判断，l1与l2重合，而平行移开弹线，所以l1与l3平行，l4与l2垂直，所以l1与l4垂直.典题·热题例1直线l1：2x+my+4=0与直线l2：(m+1)x+3y-2=0平行，则实数m的值为()A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3思路解析：(方法一)当m=0时，直线l1的斜率不存在，而l2的斜率存在，所以l1与l2不平行；当m≠0时，若l1∥l2，则有，解得m=2或m=-3.经验证，当m=2或m=-3时，两条直线平行.故应选C.(方法二)利用反代法.将m=2代入方程可得两直线平行;将m=-3代入方程也可得两直线平行.所以应选C.答案:C 误区警示在求解此类问题时，一定要注意当两直线斜率都不存在时，也有可能平行.例2如图3-1-2所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)、P(1，t)、Q(1-2t，2+t)、R(-2t，2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状.图3-1-2思路解析：判断四边形的形状，首先看每对边的关系，再看邻边的关系，判断平行只需研究其斜率之间的关系即可.公式可得:kOP=，kQR=，kOR=，kPQ=.∴kOP=kQR，kOR=kPQ.从而OP∥QR，OR∥PQ.∴四边形OPQR为平行四边形.又kOP·kOR=-1，∴OP⊥OR.故四边形OPQR为矩形.方法归纳判断两直线平行的方法，重点是利用过两点的直线的斜率公式，求出相关直线的斜率，通过观察找出其中斜率相等的直线，从而确定两直线平行.例3绕倾斜角为30°的直线l上一点P(2，1)按逆时针方向旋转30°得到直线l1，且l1与线段AB的垂直平分线互相平行，其中A(1，m-1)、B(m，2)，求m的值.思路解析：由题意，需求出直线AB的斜率，而AB的斜率与直线l1的斜率互为负倒数，直线l1的倾斜角可求，从而斜率也可求.如图3-1-3，直线l1的倾斜角为30°+30°=60°，所以l1的斜率k1=tan60°=.图3-1-3又直线AB的斜率为，所以AB的垂直平分线的斜率为.因为l1与AB的垂直平分线平行，所以.解得m=.深化升华对于已知直线上给出的两点中含有参数时，通常可以利用斜率公式来求解，这就需要求得直线的斜率.而当题目提供了相关直线的平行与垂直关系时，可利用两直线的特殊位置下斜率的关系直接求解.