高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 学案

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定目标定位 1.掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.自主预习1.两条直线平行与斜率的关系(1)如图①设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则k1＝k2；反之，若k1＝k2，则l1∥l2.(2)如图②若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行.2.两条直线垂直与斜率的关系(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直.即k1k2＝－1⇒l1⊥l2，l1⊥l2⇒k1k2＝－1.(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直.即时自测1.判断题(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行(×)(2)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交.(√)(3)若两直线的斜率之积等于－1，则两直线互相垂直.(√)(4)若直线l1⊥l2，则直线l1与l2的斜率互为负倒数.(×)提示 (1)当两直线斜率相等时，两直线平行或重合.(4)当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直.2.已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝(  ) A.－3B.3C.－D.解析 因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.答案 B3.已知直线l1的斜率为0，且l1⊥l2，则l2的倾斜角为(  )A.0°B.135°C.90°D.180°解析 ∵kl1＝0且l1⊥l2∴kl2不存在，直线l2的倾斜角为90°.答案 C4.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.解析 l1⊥l2，k1·k2＝－1，∴k2＝－＝－.答案 －类型一 两条直线平行的判定【例1】根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系.(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3).解 (1)由题意知k1＝＝－，k2＝＝－.因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.(2)由题意知k1＝tan60°＝，k2＝＝.因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合.规律方法 1.判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等.2.判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件.【训练1】根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系.(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)；(2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3).解 (1)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.(2)由题意知k1＝＝1，k2＝＝1， 虽然k1＝k2，但是E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合.类型二 两条直线垂直的判定【例2】判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40).解 (1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直.(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴.直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴.故l1⊥l2.规律方法 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.【训练2】已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________.解析 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan30°＝，设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1，∴k2＝－.答案 －类型三 平行与垂直关系的综合应用(互动探究)【例3】已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状.[思路探究]探究点一 判定图形的形状的基本思路是什么？提示 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明.探究点二 利用斜率判定平行与垂直时需要注意什么？提示 要注意考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.解 由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置， 如图，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.规律方法 (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.【训练3】已知△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.解 若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即·＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即·＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.[课堂小结]1.两直线平行或垂直的判定方法.斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直 斜率均存在相等平行或重合积为－1垂直2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.1.下列说法正确的有(  )①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜率都不存在，则两直线平行.A.1个B.2个C.3个D.4个解析 当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确.只有③正确.答案 A2.过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2，0)的直线的位置关系为(  )A.垂直B.平行C.重合D.以上都不正确解析 过点(，)，(0，3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2，0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直.答案 A3.直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.解析 ∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.答案 －1 74.已知A(m，1)，B(－3，4)，C(1，m)，D(－1，m＋1).(1)当m为何值时，AB∥CD?(2)当m为何值时，AB⊥CD?解 (1)AB∥CD⇔kAB＝kCD≠kBC，∴－＝－≠，解得m＝3，∴当m＝3时，AB∥CD. (2)AB⊥CD⇔kAB·kCD＝－1，∴＝－1，解得m＝－，∴当m＝－时，AB⊥CD.基础过关1.经过两点A(2，3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为(  )A.0B.－6C.6D.3解析 直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6.答案 C2.以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(  )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A点为直角顶点的直角三角形D.以B点为直角顶点的直角三角形解析 kAB＝＝－，kAC＝＝，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角.答案 C3.已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，则顶点D的坐标为(  )A.(3，4)B.(4，3)C.(3，1)D.(3，8)解析 设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，∴解得∴点D的坐标为(3，4).答案 A4.已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________.解析 ∵l2∥l1，且l1的倾斜角为45°，∴kl2＝kl1＝tan45°＝1，即＝1，所以a＝4.答案 45.已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1，2)，B(2，a)，若直线l1∥l2，则a ＝________；若直线l1⊥l2，则a＝________.解析 l1∥l2时，＝3，则a＝5；l1⊥l2时，＝－，则a＝.答案 5 6.当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行.解 (1)由kAB＝＝－1，解得m＝－或1.(2)由kAB＝，且＝3，∴＝－，解得m＝或－3.(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.7.已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2).(1)若l1∥l2，求m的值；(2)若l1⊥l2，求m的值.解 由题意知直线l2的斜率存在且k2＝＝－.(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，得＝－，解得m＝1或m＝6，经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.(2)若l1⊥l2.当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则k1·k2＝－1，即－·＝－1，解得m＝3或m＝－4，所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2. 能力提升8.已知A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(  )A.1B.0C.0或2D.0或1解析 当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD.答案 D9.若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为(  )A.135°B.45°C.30°D.60°解析 kPQ＝＝－1，kPQ·kl＝－1，∴l的斜率为1，倾斜角为45°.答案 B10.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________.解析 由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.答案 －2 211.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率.解 由斜率公式可得kAB＝＝，kBC＝＝0，kAC＝＝5.由kBC＝0知直线BC∥x轴，∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在.设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，即k1·＝－1，k2·5＝－1，解得k1＝－，k2＝－.∴BC边上的高所在直线的斜率不存在； AB边上的高所在直线的斜率为－；AC边上的高所在直线的斜率为－.探究创新12.已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.解 (1)当∠A＝∠D＝90°时，如图①所示，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AB∥DC且AD⊥AB.易求得m＝2，n＝－1.(2)当∠A＝∠B＝90°时，如图②所示，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AD∥BC且AB⊥BC，∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，∴解得m＝，n＝－.综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.