3.1.2两条直线平行与垂直的判定疱丁巧解牛知识•巧学一、两直线平行的判定1.如杲两条直线的倾斜角都是90。,即斜率均不存在，那么这两条直线平行.2.如果两条直线的倾斜角都不是90°,即斜率均存在，那么有h〃12OkLk2.3.在判断两条直线是否平行吋，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等，则二者平行；若二者斜率均不存在，仍然平行.误区警示这里所说的“两条直线”是指不重合的两条直线.以后若不加特殊说明，教材中“两条直线”均指不重合的两条直线.若直线h、12可能重合时，我们得到二壬人用上述的结论可以证明三点共线问题.［或厶与厶重合.二、两直线垂直的判定1.如果两条直线1|、12屮的一条与x轴平行（或重合），另一条与x轴垂直（也即与y轴平行或重合），即两条直线一条的倾斜角为0。，另一条的倾斜角为90°,从而一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在，那么这两条直线互相垂直.2.如果两条直线1】、12的斜率都存在，且其中一个不为0,那么I】丄Lokk二-1.方法归纳在判断两条直线是否互相垂直时，如果两条直线的斜率都存在且不为0,则由乘积是否为-1来判断是否垂直；如果一条直线的斜率不存在，另一条的斜率为0,则二者仍垂直.问题・探究问题1三条直线两两相交，它们能否构成三角形？探究:不一定，当三条直线交于同一点时，它们就不能构成三角形.问题2如何由两个二元一次方程的系数判断所表示的直线的平行、垂直、相交、重合？探究：设11:Aix+Biy+C^O,12:A2x+B2y+C2=0,记D1-A1B2-A2B1,D2=BiC2-ClB2,D3=AiA2-BiB2.当D】H0时,li与12相交;当Di=0,D2H0时,1占12平行；当D!=D2=0时,1占12重合；当D疔0吋，11与垂貳问题3木工为了锯木板，需在木板上弹出墨线.第一次弹出了一条线，记为h,为防第一次弹线不清晰，第二次在原位置重弹一次，得直线12；若平行移开，弹第三次线，记为13；若换成与12垂直方向弹线，得直线h,问h与12、13、h的关系如何？探究：由题意容易分析判断，h与12重合，而平行移开弹线，所以h与b平行，1彳与12垂直,所以h与h垂直.典题・热题例1直线li：2x+my+4=0与直线L：（m+l）x+3y-2=0平行,则实数m的值为（）A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3思路解析：（方法一）当m二0时，直线h的斜率不存在，而12的斜率存在，所以h与I?不平行；2m+1当mHO时，若h〃12,则有一=——,解得m二2或m二-3.经验证，当m=2或m二-3时,m3两条直线平行.故应选C.（方法二）利用反代法.将m=2代入方程可得两直线平行;将m=-3代入方程也可得两直线平行.
3.1.2两条直线平行与垂直的判定疱丁巧解牛知识•巧学一、两直线平行的判定1.如杲两条直线的倾斜角都是90。,即斜率均不存在，那么这两条直线平行.2.如果两条直线的倾斜角都不是90°,即斜率均存在，那么有h〃12OkLk2.3.在判断两条直线是否平行吋，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等，则二者平行；若二者斜率均不存在，仍然平行.误区警示这里所说的“两条直线”是指不重合的两条直线.以后若不加特殊说明，教材中“两条直线”均指不重合的两条直线.若直线h、12可能重合时，我们得到二壬人用上述的结论可以证明三点共线问题.［或厶与厶重合.二、两直线垂直的判定1.如果两条直线1|、12屮的一条与x轴平行（或重合），另一条与x轴垂直（也即与y轴平行或重合），即两条直线一条的倾斜角为0。，另一条的倾斜角为90°,从而一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在，那么这两条直线互相垂直.2.如果两条直线1】、12的斜率都存在，且其中一个不为0,那么I】丄Lokk二-1.方法归纳在判断两条直线是否互相垂直时，如果两条直线的斜率都存在且不为0,则由乘积是否为-1来判断是否垂直；如果一条直线的斜率不存在，另一条的斜率为0,则二者仍垂直.问题・探究问题1三条直线两两相交，它们能否构成三角形？探究:不一定，当三条直线交于同一点时，它们就不能构成三角形.问题2如何由两个二元一次方程的系数判断所表示的直线的平行、垂直、相交、重合？探究：设11:Aix+Biy+C^O,12:A2x+B2y+C2=0,记D1-A1B2-A2B1,D2=BiC2-ClB2,D3=AiA2-BiB2.当D】H0时,li与12相交;当Di=0,D2H0时,1占12平行；当D!=D2=0时,1占12重合；当D疔0吋，11与垂貳问题3木工为了锯木板，需在木板上弹出墨线.第一次弹出了一条线，记为h,为防第一次弹线不清晰，第二次在原位置重弹一次，得直线12；若平行移开，弹第三次线，记为13；若换成与12垂直方向弹线，得直线h,问h与12、13、h的关系如何？探究：由题意容易分析判断，h与12重合，而平行移开弹线，所以h与b平行，1彳与12垂直,所以h与h垂直.典题・热题例1直线li：2x+my+4=0与直线L：（m+l）x+3y-2=0平行,则实数m的值为（）A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3思路解析：（方法一）当m二0时，直线h的斜率不存在，而12的斜率存在，所以h与I?不平行；2m+1当mHO时，若h〃12,则有一=——,解得m二2或m二-3.经验证，当m=2或m二-3时,m3两条直线平行.故应选C.（方法二）利用反代法.将m=2代入方程可得两直线平行;将m=-3代入方程也可得两直线平行.
所以应选C.答案:c误区警示在求解此类问题时，一定要注意当两直线斜率都不存在时，也有可能平行.例2如图3-1-2所示，在平面直角坐标系屮，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为0(0,0)、P(l,t)、Q(l-2t,2+t)、R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.思路解析：判断四边形的形状，首先看每对边的关系，再看邻边的关系，判断平行只需研究其斜率之间的关系即可•公式可得：.r-o.2—(2+/)-tkop二=19k(jR二=—=t,1-0.-2r-(l-2r)-1.2-01,2+r—r21koR==——,kpQ===——.-2r-0t1+2r-1-2tt・・kop二k()R,koR=kpQ.从而OP〃QR,OR〃PQ・・・・四边形OPQR为平行四边形.又k()p•k()R=—1,・・・0P丄OR.故四边形OPQR为矩形.方法归纳判断两直线平行的方法，重点是利用过两点的直线的斜率公式，求出相关直线的斜率，通过观察找出其小斜率相等的直线，从而确定两直线平行.例3绕倾斜角为30°的直线1上一点P(2,1)按逆时针方向旋转30°得到直线h,且h与线段AB的垂直平分线互相平行，其中A(l,m-1).B(m,2),求m的值.思路解析：由题意，需求出直线AB的斜率，而AB的斜率与直线1】的斜率互为负倒数，直线h的倾斜角可求，从而斜率也可求.如图3-1-3,直线1】的倾斜角为30。+30°二60。,所以h的斜率ki=tan60°=^3.又直线AB的斜率为\-m1-mAB的垂直平分线的斜率为上巴=巴二1•因为1占AB的垂直平分线平行，所以馆=竺丄.解得m=4+V3.m-3m-3m_3深化升华对于已知直线上给出的两点中含有参数时，通常可以利用斜率公式來求解，这就
需要求得直线的斜率.而当题目提供了相关直线的平行与垂直关系时，可利用两直线的特殊位置下斜率的关系直接求解.
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