2017-2018学年高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 试题

3.1.2两条直线平行与垂直的判定一、两直线平行1．特殊情况下的两条直线平行的判定两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为，故它们互相平行.2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们，即.证明如下：设两条直线的斜率分别为.如果(如图)，那么它们的倾斜角相等，即.∴,∴.反过来，如果两条直线的斜率相等，即,那么.由于，∴.又两条直线不重合，∴.二、两直线垂直1．特殊情况下的两条直线垂直的判定当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为时，两条直线互相垂直.2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相，即.证明如下：设两条直线与的倾斜角分别为与.如果,这时.否则,则,与相矛盾.设(如下图)，图(1)的特征是与的交点在x轴上方；图(2)的特征是与的交点在x轴下方；图(3)的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有.∵,的斜率分别是,且，∴.∴.∴,即.反过来，若，即.不失一般性，设，则,即,∴.K知识参考答案： 一、1．90°2．斜率平行二、1．90°0°2．−1垂直K—重点两条直线的平行、垂直关系，根据直线的位置关系求参数K—难点两条直线平行与垂直的综合应用K—易错忽略直线斜率的存在性致错1．两条直线的平行关系在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.【例1】根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.(1)l1经过点Α(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)；(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点，；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5).【解析】(1)由题意知，，所以直线l1与直线l2平行或重合，又，故l1∥l2.(2)由题意知，，所以直线l1与直线l2平行或重合，又，故直线l1与直线l2重合.(3)由题意知，，则k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合.(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.2．两条直线的垂直关系 判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于−1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.【例2】根据下列给定的条件,分别判断直线l1与l2是否垂直:(1)l1经过点A(1,3),B(-1,-1),l2经过点C(2,1),D(4,0);(2)l1经过点E(-1,3),F(-1,-5),l2经过点G(2,4),H(-1,4);(3)l1的倾斜角为30°,l2经过点M(1,),N(2,0);(4)l1经过点P(2,-1),Q(3,4),l2经过点R(5,2),S(0,1).【思路点拨】若斜率均存在，求出斜率，利用进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况.3．根据直线的位置关系求参数已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题时，首先需考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形.此外，已知两直线垂直求解参数时，还需注意斜率是否为零.【例3】已知直线经过点,直线经过点.（1）若,求的值;（2）若,求的值. 【解析】由题意知直线的斜率存在且.（1）若,则直线的斜率也存在,又,由,得,解得或.经检验,当或时,.（2）若，当时,,,不符合题意;当时,直线的斜率存在且不为0,则直线的斜率也存在，且,即,解得或.经检验，当或时，.【例4】已知点A(−2，−5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB=90°，则点P的坐标为A．(0，−6)B．(0，7)C．(0，−6)或(0，7)D．(−6，0)或(7，0)【答案】C4．两直线平行和垂直的综合应用利用直线平行与垂直的条件判断三角形或四边形的形状是常见题型，同时要熟知各种图形的特点及判定方法.证明两直线平行时，仅有斜率相等是不够的，注意排除两直线重合的情况.【例5】已知,试判断四边形ABCD的形状.【解析】由题意，可得,∴.∴AB∥CD,BC∥DA.∴四边形ABCD为平行四边形. 又,∴直线AB与BC垂直，即∠ABC=90°.∴四边形ABCD为矩形.【思路点拨】画图直观猜想四边形ABCD是矩形.要说明四边形ABCD为矩形，只要计算,再结合两条直线平行、垂直的判定求解即可.5．忽略直线斜率的存在性致错【例6】已知,若直线，求的值.【错解】由斜率公式知，,.∵,∴，即，解得m=1,∴m的值为1.【错因分析】漏掉了直线斜率不存在的情况.【正解】∵A,B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行.∵AB⊥CD,∴CD与x轴不垂直，.当AB与x轴垂直时，,解得,而时，C,D纵坐标均为，则CD∥x轴，此时AB⊥CD,满足题意.当AB与x轴不垂直时，由斜率公式知，,.∵AB⊥CD,∴,即,解得m=1.综上，m的值为1或.【误区警示】对于含有参数的直线垂直问题，要分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，避免漏解. 1．下列命题：①若两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为−1，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们斜率之积为−1.其中正确的为A．①②③④       B．①③C．②④D．以上全错2．直线的斜率为2，，直线l2过点，且与y轴交于点P，则P点坐标为A．B．C．D．3．若直线l经过点(a−2，−1)和(−a−2，1)，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是A．B．C．D．4．以A(5，−1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A为直角顶点的直角三角形D．以B为直角顶点的直角三角形5．已知A(−4,2)，B(6，−4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正确的个数为A．1B．2C．3D．46．若不同两点P，Q的坐标分别为，，则线段PQ的垂直平分线的斜率为__________.7．若l1过点A(m,1)，B(−3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且，则m=__________.8．(1)已知直线经过点经过点,,试判断与是否平行?(2)若的倾斜角为45°,经过点,问与是否垂直？ 9．当m为何值时，过A(1，1)，B(2m2＋1，m−2)两点的直线：（1）倾斜角为135°；（2）与过两点(3，2)，(0，−7)的直线垂直；（3）与过两点(2，−3)，(−4，9)的直线平行？10．已知A(1，5)，B(−1，1)，C(3，2)，若四边形ABCD是平行四边形，求D点的坐标．11．若直线的斜率是方程的两根，则l1与l2的位置关系是A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直12．已知经过点A(3,n),B(5,m)的直线l1与经过点P(-m,0),Q(0,n2)(mn≠0)的直线l2平行,则的值为A．-1B．-2C．-1或2D．-2或113．在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1-2t,2+t)、R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状. 123451112BDADCDC1．【答案】B【解析】①③显然正确.对于②，当两直线都垂直于x轴时，它们互相平行，但斜率不存在，所以②错误；对于④，当一条直线的斜率为0，一条直线的斜率不存在时，它们互相垂直，不满足斜率之积为−1，所以④错误.故选B.2．【答案】D【解析】∵k1=2，，∴k2=2.设，则，∴y=3，即.5．【答案】C【解析】由题意得，所以AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD.6．【答案】【解析】因为，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为. 7．【答案】0【解析】∵l1∥l2，且，∴，∴m=0.8．【解析】(1)∵,∴.(2)∵,∴.10．【解析】设D(x，y)，则，，，，由AB∥CD，得，即y=2x−4.①由AD∥BC，得，即x−4y＋19=0.②由①②解得.∴D点的坐标为(5，6)．11．【答案】D【解析】因为方程有两个不相等的实数根，直线l1，l2的斜率是方程的两根，所以，且，所以l1与l2垂直.故选D.12．【答案】C 【解析】由题意得, ,因为l1∥l2,所以,即,化简得m2-mn-2n2=0,所以m=-n或m=2n,得=-1或2,故选C.