2020_2021学年高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.1.1倾斜角与斜率 学案

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定学习目标核心素养1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学学科素养．1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？[提示] 不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2思考：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？[提示] 不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在．1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(  )A．－3   B．3   C．－   D．-8- B [kAB＝＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.]2．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(  )A．平行B．垂直C．重合D．非以上情况B [∵k1·k2＝2×＝－1，∴l1⊥l2.]3．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．0 [∵kl2＝＝－1，l1∥l2，∴kl1＝＝－1，∴m＝0.]4．若直线l1的斜率kl1＝m，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．－或不存在 [若m＝0时，直线l2的斜率不存在．若m≠0时，直线l2的斜率为－.]两直线平行关系的判定【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)；(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5).[解] (1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．-8- (3)由题意知，k1＝tan60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．(4)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.判断两条不重合直线是否平行的步骤1．已知l1经过点A(－3，3)，B(－8，6)，l2经过点M，N，求证：l1∥l2.[证明] 直线l1的斜率为k1＝＝－，直线l2的斜率为k2＝＝－，因为k1＝k2，且kAN＝＝－，所以l1与l2不重合，所以l1∥l2.两直线垂直关系的判定【例2】 判断下列各题中l1与l2是否垂直．(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；(2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40).[解] (1)k1＝＝2，k2＝＝，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．-8- (2)k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．2．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，求a的值．[解] 设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－，不符合题意；②当a＝0时，l2的斜率不存在，此时直线l1的斜率k1＝－不符合题意；③当a≠4且a≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.由k1·k2＝－1，得－·＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.两直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断△ABC-8- 的形状吗？[提示] 如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．2．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？[提示] 以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x，0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C(1，0)或(2，0).【例3】 △ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．[解] 因为∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7.1．本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？[解] 由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，则·＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即·＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝3或m＝±2.2．若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？[解] 若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，-8- 即·＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即·＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即·＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.,利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤→ ↓→ ↓→ ↓→1．两条不重合的直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行积为－1垂直2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．1．下列说法正确的是(  )-8- A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行D [对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若l1⊥l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与y轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确．]2．过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2，0)的直线的位置关系为(  )A．垂直 B．平行C．重合D．以上都不正确A [k1＝＝－＋，k2＝＝－，∵k1k2＝－1，∴两直线垂直．选A.]3．若经过点M(m，3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________． [由题意知，直线MN的斜率存在，因为MN⊥l，所以kMN＝＝，解得m＝.]4．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行．[解] (1)由kAB＝＝tan135°＝－1，解得m＝－或m＝1.(2)由kAB＝，且＝3，则＝－，解得m＝或m＝－3.(3)令＝＝－2，-8- 解得m＝或m＝－1.-8-