直线、平面平行与垂直的判定与性质(证明题详细讲解)

可编辑版直线、平面平行与垂直的判定及其性质DCPAB（第16题）7.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.【解析】（1）因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PA.同理可得AB⊥PA. 由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=A,所以PA⊥平面ABCD.（2）（方法一）不平行.证明：假定直线l∥平面ABCD,由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD,所以∥CD.同理可得l∥AB,所以AB∥CD.这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰不平行相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T.由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.同理T平面PAB.即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线与平面ABCD不平行.Word完美格式 可编辑版8.如图，在三棱柱中，，分别为线段的中点，求证：ABCA1B1C1EFG（1）平面平面;（2）面；（3）平面【解析】(1)平面平面平面平面ABCA1B1C1EFG(2),面；(3)连接，则四边形EFGB为平行四边形,平面。Word完美格式 可编辑版9.在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：（1）平面BDO⊥平面ACO；（2）EF//平面OCD.【解析】证明：⑴∵平面，平面，所以，∵四边形是菱形，∴，又，∴平面，又∵平面，∴平面平面．⑵取中点，连接,则，∵四边形是菱形，∴，∵为的中点，∴，∴．∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面．∴平面．Word完美格式 可编辑版10.如图l，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=600，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．(1)求证：AE⊥BD；’ABCDE图1ABCDEFP图2(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由．【解析】（1）连接，取中点，连接．在等腰梯形中，∥，AB=AD，，E是BC的中点与都是等边三角形平面平面平面．（2）连接交于点，连接∥，且＝四边形是平行四边形是线段的中点是线段的中点∥Word完美格式 可编辑版平面平面．平面（3）与平面不垂直．证明：假设平面，则平面，平面平面，这与矛盾与平面不垂直．11.如图，在四棱锥中，底面中为菱形，，为的中点。（1）若，求证：平面平面；（2）点在线段上，，试确定实数的值，使得‖平面。【解析】（1）连，四边形菱形，为的中点，又，Word完美格式 可编辑版（2）当时，使得‖，连接交于，交于，则为的中点，又为边上中线，为正三角形的中心，令菱形的边长为，则，。‖‖即：。12.如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点.（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA＝AC＝，BD＝，求直线BM与平面PAC所成的角.【解析】（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，连结OM.因为四边形ABCD是菱形，则O为AC中点.又M为PA的中点，所以OM∥PC.因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM.（Ⅱ）因为四边形ABCD是菱形，则BD⊥AC.又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.Word完美格式 可编辑版所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.在Rt△PAC中，因为PA＝AC＝，则PC＝2.又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO＝PC＝1.又BO＝BD＝，在Rt△BOM中，tan∠BMO＝，所以∠BMO＝60°.故直线BM与平面PAC所成的角是60°.13.一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为的正方形，左视图是直角边长为的等腰三角形）如图所示，其中、分别是、的中点，是上的一动点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）当时，证明平面.主视图侧视图俯视图Word完美格式 可编辑版【解析】（Ⅰ）由三视图可知，多面体是直三棱柱，两底面是直角边长为的等腰直角三角形，侧面,是边长为的正方形.连结,因为,所以，面又,所以，面,面所以（Ⅱ）＝.另解：（Ⅲ）连结交于,连结因为分别是的中点，所以//，//,所以，//,是平行四边形∥,面,面所以，//平面.14.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。               （1）求证：AC⊥SD；  （2）若SD⊥平面PAC，在SC上取一点E，使，连接BE，求证：BE∥平面PAC.Word完美格式 可编辑版【解析】（1）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，    所以,得.  （2）由,知,在等腰三角形SCD中，O可解得.    在上取一点,使,所以，连BN，在中知，    又由于,故平面，得.Word完美格式