3.2.1-直线的点斜式方程

问题引入在平面直角坐标系内，如果给定一条直线l经过的一个点Px,y和斜率k，能否将直线上所有000的点的坐标x,y满足的关系表示出来呢？ylP0Ox 问题引入直线经过点Px,y，且斜率为k，设点Px,y000是直线上不同于点P的任意一点，因为直线l的斜率0为k，由斜率公式得：ylyy0k，Pxx0P0即：Oxyykxx00 概念理解（1）过点Px,y，斜率是k的直线l上的点，000其坐标都满足方程yy0kx吗？x0（2）坐标满足方程yykxx的点都00在过点Px,y，斜率为k的直线l上吗？000经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是过点Px,y，斜率为k的直线l的方程．000 直线的点斜式方程方程yykxx由直线上一点及00其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（pointslopeform）．yl直线l的斜率为kP0Ox 坐标轴的直线方程（1）x轴所在直线的方程是什么？当直线l的倾斜角为0时，即tan00．这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是yy00，或yy0故x轴所在直线的方程是:y0yP0lOx 坐标轴的直线方程（2）y轴所在直线的方程是什么？当直线l的倾斜角为90时，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．这时，直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程就是ylxx00，或xx0P0故y轴所在直线的方程是：Oxx0 典型例题例1直线l经过点P2,3，且倾斜角45，0求直线l的点斜式方程，并画出直线l．解：直线l经过点P2,3，斜率ktan451，0代入点斜式方程得：y3x2.yP14画图时，只需再找出直线P03上的另一点lPx,y，例2111l如，取x11,y14，得P11的坐标为1,4，过P，P01-2-1Ox的直线即为所求，如图示． 直线的斜截式方程如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为0,b，代入直线的点斜式方程，得：ybkx0yl也就是：ykxbP0b我们把直线与y轴交点的纵坐标bOx叫做直线在轴上的截距（intercept）．该方程由直线的斜率与它在y轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式（slopeinterceptform）． 直线的斜截式方程观察方程ykxb，它的形式具有什么特点？我们发现，左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情形。直线在坐标轴上的横、纵截距及求法：截距的值是实数，它是坐标值，不是距离 直线的斜截式方程方程ykxb与我们学过的一次函数的表达式类似．我们知道，一次函数的图象是一条直线．你如何从直线方程的角度认识一次函数ykxb？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y2x1,y3x及yx3图象的特点吗？ 典型例题例2已知直线l:ykxb，l:ykxb，111222试讨论：（1）l//l的条件是什么？（2）ll的条件1212是什么？解：（1）若l//l，则kk，此时l，l与y121212轴的交点不同，即b1b2；反之，k1k，且2b1b2时，l//l．12（2）若ll，则kk1；反之，kk1121212时，ll．12 典型例题例2已知直线l:ykxb，l:ykxb，111222试讨论：（1）l//l的条件是什么？（2）ll的条1212件是什么？解：于是我们得到，对于直线：l:ykxb，l:ykxb111222l//lkk,且bb；121212llkk1.1212