直线的点斜式和斜截式方程

直线的点斜式与斜截式方程一、复习引入1、确定直线的几何要素：直线上一点和直线的倾斜角（斜率）。直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x,y)满足的关系式.2、已知直线上两点的斜率公式：3、一次函数及其图像：函数y=kx+b(k0)称为一次函数，其图像是一条直线，该直线的斜率为k，与y轴的交点为.二、直线的点斜式方程三、1.概念形成四、直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k.设点P(x,y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0,y0之间的关系.根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，，即y–y0=k(x–x0)（1）问题：（1）过点P0(x0,y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0(x0,y0)，斜率为k的直线l上吗？方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（3）直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？（4）x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？（5）经过点P0(x0,y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？（6）经过点P0(x0,y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？2、应用举例 例.直线l经过点P0(–2，3)，且倾斜角=45°.求直线l的点斜式方程，并画出直线l.xy6421–1–20P0P1点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率.变式训练：(1)过点（-1，2）,倾斜角为135°的直线方程为(2)过点（2，1）且平行于x轴的直线方程为(3)过点（2，1）且平行于y轴的直线方程为(4)过点（2，1）且过原点的直线方程为练习:1.写出下列直线的点斜式方程：（1）经过A（3，－1），斜率是（2）经过B（，2），倾斜角是30°（3）经过C（0，3），倾斜角是0°（4）经过D（－4，－2），倾斜角是120°2.填空：(1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么此直线的斜率是,倾斜角是;(2)已知直线的点斜式方程是y+2=(x+1),那么此直线的斜率是,倾斜角是;(3)已知直线的点斜式方程是y=-3,那么此直线的斜率是,倾斜角是;三、直线的斜截式方程1.概念形成（1）已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)，求直线l的方程.（2）观察方程与，它们有什么联系？斜截式是点斜式的特殊情况（3）直线y=kx+b在x轴上的截距是什么？“截距”与“距离”两个概念的区别.截距：距离：（4）一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y=2x–1，y=3x，y=–x+3图象的特点吗？（5）任何直线都能用斜截式表示吗？2、应用举例例.已知直线l1：y=k1+b1，l2：y2=k2x+b2.试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？ （2）l1⊥l2的条件是什么？答：（1）若l1∥l2，则k1=k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1=b2；反之，k1=k2，且b1=b2时，l1∥l2.于是我们得到，l1∥l2k1=k2，且b1≠b2；（2）l1⊥l2k1k2=–1.变式训练：(1)写出斜率为-2，且在y轴上的截距为t的直线的方程.(2)当t为何值时，直线通过点（4，-3）？并作出该直线的图象.练习：1.写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是，在y轴上的截距是－2,（2）斜率是－2，在y轴上的截距是4,2.判断下列各对直线是否平行或垂直：（1）（2）（3）四、综合应用例1:求倾斜角是直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程是.（1）经过点；（2）在y轴上的截距是–5.例2:直线l过点P(–2，3)且与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.五、课堂小结1.由直线上一定点及其斜率确定的直线方程叫做直线的___________方程; 2.点斜式方程:若直线过点,斜率为,则其方程为________________________.3.斜截式方程:若直线的斜率为,且在y轴上的截距为b,则其方程为___________________.4.特殊直线：（1）点斜式与斜截式方程不能表示______________的直线;（2）过点且平行于轴的直线倾斜角为_______,斜率______,方程是（3）过点且平行于轴的直线倾斜角为_______,斜率______,方程是六、课堂检测1.下列四个直线方程中,可以看作是直线的斜截式方程的是()A.B.C.D.2.方程表示()A.通过点的所有直线B.通过点的所有直线C.通过点且不垂直于x轴的所有直线D.通过点且除去x轴的所有直线3．直线l的方程为y=xtanα+2，则()（A）α一定是直线的倾斜角(B）α一定不是直线的倾斜角（C）π–α一定是直线的倾斜角（D）α不一定是直线的倾斜角4．直线y–4=–(x+3)的倾斜角和所过的定点分别是()(A）–,(–3,4)（B）,(–3,4)（C）,(3,–4)（D）,(3,–4)5、直线y=kx+b(b≠0)不过第二象限,则（）Akb0Dkb≥06、直线一定经过定点（）A、（0,0）B、（0,1）C、（3,1）D、（2,1）7.在y轴上的截距为–3，倾斜角的正弦为的直线的方程是.8.直线过点(1,2),且它的倾斜角是直线倾斜角的2倍,则直线的方程为______.9.倾斜角是1350,在y轴上的截距是的直线的方程为_________________.10.直线过点,将点左移2个单位再上移3个单位后所得的点仍在直线上,则直线的方程是 11.将直线绕它上面的点沿逆时针方向旋转,所得直线方程是12.直线必过定点13.已知直线在y轴上的截距为,且与坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线的方程14．一直线经过点A(2,-3),它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，求该直线方程.15.ΔABC的顶点是A(0,5)、B(1,-2)、C(-5,4)，求BC边上的中线所在的直线方程.16.已知直线的斜率k=2,P1(3,5)、P2(x2,7)、P3(-1,y3)是这条直线上的三点，求x2和.17.已知直线过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为8，求直线的方程。18.已知，直线l的方程为4x-y+8=0（1）求直线l的斜率、在y轴上的截距（2）求直线l与坐标轴围成的三角形的面积