高中数学 3.2.1直线的点斜式方程学案 新人教版必修2

3．2.1 直线的点斜式方程[提出问题]斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定．从一点可引出多条斜拉索．问题2：若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件？提示：满足＝k.问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？提示：可以．方程为y－b＝kx.[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明： (1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．[解析] (1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.[答案] (1)x＝－5 (2)y－4＝－(x－3) (3)2x－y＝0[类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．(2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan45°＝1.∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0. ∴直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.[例2] (1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－，由斜截式可得所求的直线方程为y＝－x－3.(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.[答案] (1)y＝－x－3[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan30°＝.∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝x－5.[例3] 当a为何值时，(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？[解] (1)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝a，k2＝a＋2.∵两直线互相垂直， ∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.故当a＝－1时，两条直线互相垂直．(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k3＝－1，k4＝a2－2.∵两条直线互相平行，∴解得a＝－1.故当a＝－1时，两条直线互相平行．[类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．[活学活用]3．(1)若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.(2)若直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a＝________.解析：(1)由题意可知kl1＝2a－1，kl2＝4.∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.(2)因为l1∥l2，所以a2－2＝－1，且2a≠2，解得a＝－1，所以a＝－1时两直线平行．答案：(1) (2)－1   [典例] 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．[解] 由题设l2的方程可化为y＝－x－m，则其斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－m. ∵l1∥l2，∴l1的斜率一定存在，即m≠0.∴l1的方程为y＝－x－.由l1∥l2，得解得m＝－1.∴m的值为－1.[易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．[成功破障]当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－2a且2a≠2，解得a＝－3.[随堂即时演练]1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于(  )A．2,3          B．－3，－3C．－3,2D．2，－3答案：D2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(  )A．y＋3＝x－2B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3D．y－2＝x＋3解析：选A ∵直线l的斜率k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为y＋3＝x－2.3．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．解析：α＝60°，k＝tan60°＝，由点斜式方程，得y＋4＝(x＋2)．答案：y＋4＝(x＋2)4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．解析：∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2. 答案：y＝－3x＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．解：(1)由y＝2x＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2.∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)由y＝3x－5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－.∴所求直线方程为y＋2＝－(x＋2)，即x＋3y＋8＝0.[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(  )A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 直线的方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．直线y＝ax－的图象可能是(  )解析：选B 由y＝ax－可知，斜率和截距必须异号，故B正确．3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(  )A．y＝x＋4B．y＝2x＋4C．y＝－2x＋4D．y＝－x＋4解析：选D 因为所求直线与y＝2x＋1垂直，所以设直线方程为y＝－x＋b.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的方程为y＝－x＋4.4．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(  ) A．2x＋y－1＝0B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0解析：选A 在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，则所求直线的斜率为－2，∴所求直线的方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.5．过点(1,0)且与直线y＝x－1平行的直线方程是(  )A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析：选A 与直线y＝x－1平行的直线方程可设为：y＝x＋c，将点(1,0)代入得0＝＋c，解得c＝－，故直线方程为y＝x－即x－2y－1＝0.二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．解析：与直线y－1＝(x＋5)平行，故斜率为，所以其点斜式方程是y－2＝(x＋3)．答案：y－2＝(x＋3)7．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点____________．解析：将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)．答案：(3,2)8．过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．解析：依题意设l的方程为y＋3＝k(x－4)．令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.因此－4k－3＝.解得k＝－1或k＝－.故所求方程为y＝－x＋1或y＝－x.答案：y＝－x＋1或y＝－x三、解答题 9．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB的斜率kAB＝＝－，过点A(－5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y＝－(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，kBC＝＝－，kAC＝＝，直线BC，AC的方程分别为5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0.10．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．解：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，所以－b－b＝1，b＝－，直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.