第三章直线与方程321直线的点斜式方程

第三章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程［学习目标］1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义.3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.工知理梳理自主学习知识点一直线的点斜式方程名称已知条件示意图干方程使用范围点斜式点P(xo,yo)和斜率ky—yo=k(x—xo)斜举存在的直线思考直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？答不能有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示知识点二直线的斜截式方程1.直线l在坐标轴上的截距(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b.(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a.2.直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距by=kx+b斜举存在的直线思考直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？答直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.匚题型探究重点突破题型一直线的点斜式方程例1求满足下列条件的直线的点斜式方程.⑴过点P(—4,3),斜率k=-3;(2)过点P(3,—4),且与x轴平行；第1页共8页 ⑶过P(—2,3),Q(5,—4)两点.解(1)二.直线过点P(-4,3),斜率k=-3,由直线方程的点斜式得直线方程为y-3=-3(x+4).(2)与x轴平行的直线，其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-(-4)=0X(x-3),即y+4=0.⑶过点P(—2,3),Q(5,—4)的直线的斜率一4一3一7kpQ=-=~^~=—1.Q5—f—2\7又•.・直线过点P(—2,3).「•直线的点斜式方程为y—3=—(x+2).反思与感悟1.求直线的点斜式方程的步骤:定点(％,y°)一定斜率k一写出方程y-y0=k(x-x0).2.点斜式方程y-yo=k(x—x0)可表示过点跟踪训练1⑴过点(—1,2),且倾斜角为P(x0,V0的所有直线，但x=x0除外.135。的直线方程为.(2)已知直线l过点A(2,1)且与直线v—1=4x-3垂直，则直线l的方程为.答案(1)x+y-1=0(2)x+4y-6=0解析(1)k=tan135=-1,由直线的点斜式方程得y—2=—(x+1),即x+y—1=0.(2)方程y-1=4x-3可化为y—1=4,一4!,由点斜式方程知其斜率k=4.又因为l与直线y-1=4x-3垂直，所以直线l的斜率为—4.又因为l过点A(2,1),1所以直线l的万程为y-1=-4(x-2),即x+4y—6=0.题型二直线的斜截式方程例2根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是—2;(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y=2x+5.3(2)二.倾斜角a=150,，斜率k=tan150=-、-.由斜截式可得方程为y=—乎x—2.313).••直线的倾斜角为60°,其斜率k=tan60=邓,•・•直线与y轴的交点到原点的距离为3,，直线在y轴上的截距b=3或b=—3.第1页共8页 ，所求直线方程为y=^3x+3或y=J3x—3.反思与感悟1.本例(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解"y=43x—3”.2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.跟踪训练2已知直线li的方程为y=-2x+3,I2的方程为y=4x-2,直线l与li平行且与上在y轴上的截距相同，求直线l的斜截式方程.解由斜截式方程，知直线li的斜率ki=-2,又因为l//l1,所以l的斜率k=k1=—2.由题意，知l2在y轴上的截距为一2,所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式，得直线l的方程为y=—2x-2.题型三直线过定点问题例3求证：不论m为何值，直线l:y=(m—1)x+2m+1总过第二象限证明方法一直线l的方程可化为y-3=(m-1)(x+2),，直线l过定点(—2,3),由于点(—2,3)在第二象限，故直线l总过第二象限.方法二直线l的方程可化为m(x+2)-(x+y—1)=0.人x+2=0,令，ix+y-1=0,x=-2解得，y=3.，无论m取何值，直线l总经过点(—2,3).•・,点(—2,3)在第二象限，，直线l总过第二象限.反思与感悟证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想.跟踪训练3已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限，求k的取值范围.解由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则—6W0q3—2…得Q3.所以，k的取值范围是灰221数学思想函数与方程思想例4已知直线y=kx+b,当一30时，f(x)在［—3,4］上单调递增,f-3尸—8,f(4尸13,—3k+b=—8,即.k=3,解得,b=1.4k+b=13,第3页共8页 此时直线方程为y=3x+1.当kv0时，f（x）在［—3,4］上单调递减,ff—3尸13,则")-3k+b=13,f(4尸—8,即＜4k+b=-8,k=-3,解得，b=4.2.直线y=x—1的斜率和在y轴上的截距分别是（）第7页共8页2.直线y=x—1的斜率和在y轴上的截距分别是（）第7页共8页此时直线方程为y=—3x+4.综上所述，所求直线方程为y=3x+1或y=—3x+4.解后反思初中学习的一次函数y=kx+b的图象是一条直线，其中常数k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距，这恰是直线方程的斜截式，因此可以把直线方程转化为一次函数，利用函数的单调性求解.易错点忽略点斜式使用范围致错例5已知直线l过点（1,2）和（a,b）,求其方程.分析本题可利用点斜式求直线方程，注意对字母a进行讨论.解当a=1时，直线l与x轴垂直，直线l的方程为x=1;b—2a-1b-2当aw1时，斜率k=b—2,由点斜式，得直线l的方程为y—2=（x—1）.a-T）解后反思本题常见的错误是没有对a进行分类讨论，而是直接利用斜率公式求斜率，然后套用点斜式写直线方程在利用点斜式或斜截式求直线方程时，要注意直线方程的点斜式V—yo=k（x—xo）的斜截式y=kx+b都是在斜率k存在的前提下才能使用的，要认真分析，避免漏解^广当堂检测自查自纠1.已知直线l的方程为2x-5y+10=0,且在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则|a+b|等于（）A.3B.7C.10D.5答案A解析直线l的方程为2x—5y+10=0,令y=0,得a=-5,令x=0,得b=2,所以|a+b|=|—5+2|=3.2.过点（—1,3）且垂直于直线x—2y+3=0的直线方程为（）A.2x+y-1=0B.2x+y—5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0答案A解析所求直线与已知直线垂直，因此其斜率为—2,故方程为y—3=—2（x+1）,即2x+y—1=0.3.过点（1,0）且与直线x—2y—2=0平行的直线方程是（）A.x-2y-1=0B.x-2y+1=02.直线y=x—1的斜率和在y轴上的截距分别是（）第7页共8页 C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0答案A1解析所求直线与已知直线平彳t,因此其斜率为2，1一故方程为y=2（x—1）,即x—2y—1=0.4.直线（2m2—m+3）x+（m2+2m）y=4m+1在x轴上的截距为1,则m的值是（1A.2或2B.2或—211C.-2或—2D.-2或2答案A-*--4m+1解析令y=0,解得x=2m2_m+3.4m+11由已知得2m2_m+3=1'则4m+1=2m2—m+3,即2m2—5m+2=0.解得m=2或万（符合题意）.故选A.5.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍，且过定点P（3,3）,则直线l的方程为.答案x=3解析直线y=x+1的斜率为1,所以倾斜角为45。，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90。，其斜率不存在.又直线过定点P（3,3）,所以直线l的方程为x=3.「课堂小结1yV11.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有^^=k,此式x—x1是不含点P1（x1,y1）的两条反向射线的方程，必须化为y—y1=k（x—x1）才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x「2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过（0,b）点、斜率为k的直线y-b=k（x-0）,即y=kx+b,其特征是方程等号的一端只是一个y,其系数是1;等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y=c是直线的斜截式方程，而2y=3x+4不是直线的余^截式方程.尹课时精练」一、选择题1.直线方程可表示成点斜式方程的条件是（）A.直线的斜率存在B.直线的斜率不存在C.直线不过原点D.直线过原点答案A解析直线的点斜式方程中，斜率必须存在.2.直线y=x—1的斜率和在y轴上的截距分别是（）第7页共8页 A.—1,1B.1,1C.-1,-1D.1,-1答案D解析直线y=x—1为斜截式方程，其中斜率为1,在y轴上的截距为—1.3.斜率为4,经过点（2,—3）的直线方程是（）A.y+3=4(x—2)B.y—3=4(x—2)C.y-3=4(x+2)D.y+3=4(x+2)2.直线y=x—1的斜率和在y轴上的截距分别是（）第7页共8页 答案A解析由直线的点斜式方程，知所求直线方程为y+3=4（x—2）.4.已知直线方程y-3=^/3（x-4）,则这条直线经过的定点和倾斜角分别是（A.(4,3),60°B.(-3,-4),30°C.(4,3),30°D.(-4,-3),60°答案A解析y-3=，3（x—4）,得直线过定点（4,3）.因为斜率k=73,所以倾斜角为60°.5.与直线y=2x+1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（A.y=2x+4B.y=2x+4C.y=—2x+4r1，，D.y=—2x+4答案D解析:直线y=2x+1的斜率为2,与其垂直的直线的斜率是—2,1，直线的斜截式万程为y=—2x+4,故选D.什，一………八3—，………”口6.若经过原点的直线l与直线y=Qx+1的夹角为30,则直线l的倾斜角是3A.0B.60C.0或60°D.60或90°答案7方程1...y=ax+a表示的直线可能是图中的（答案解析111直线y=ax+a的斜率是a,在y轴上的截距£.当a>0时，斜率a>0,在y轴上的截距£>0,则直线y=ax+1过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a