3.3.2直线的方程——点斜式斜截式截距式一般式

必修5直线的方程 倾斜角x轴正方向与直线向上方向之间所成的角αxya倾斜角复习：倾斜角的范围：斜率： 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角确定直线的要素xyOlP xyo故:⑵⑴问题2：若直线经过点,斜率为k,则此直线的方程是？（1）过点,斜率为k的直线上每个点的坐标都满足方程；（2）坐标满足这个方程的每一点都在过点,斜率为k的直线 上.设直线任意一点（P0除外）的坐标为P(x,y)1.点斜式方程 注意：这个方程是由直线上一定点及其斜率确定，所以我们把它叫做直线的点斜式方程；简称：点斜式.经过点    斜率为k的直线 的方程为：点斜式方程的形式特点.1.点斜式方程 xylP0(x0,y0)l与x轴平行或重合倾斜角为0°斜率k=0y0直线上任意点纵坐标都等于y0O1.点斜式方程特别的， xylP0(x0,y0)l与x轴垂直倾斜角为90°斜率k不存在不能用点斜式求方程x0直线上任意点横坐标都等于x0O1.点斜式方程 点斜式方程xylxylxylO①倾斜角α≠90°②倾斜角α=0°③倾斜角α=90°y0x0 例一:1.已知直线经过点,斜率为２，求这条直线的方程.2.已知直线经过点，求（1）倾斜角为时的直线方程：；（2）倾斜角为时的直线方程：；（3）倾斜角为时的直线方程：.lxyo0x 问题3：已知直线 的斜率为k，与y轴的交点是点P（0，b)，求直线的方程.解：由直线的点斜式方程，得：即：这个方程由直线的斜率k和在y轴上的截距b确定，也叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.式中：b---直线在y轴上的截距(直线与y轴交点的纵坐标)k---直线的斜率（0，b）lxyo2.斜截式方程 例二：写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：思：截距是距离吗？不是，截距是坐标，可是正数,负数和零 例三：1.下列方程表示直线的倾斜角各为多少度？1)2)3)2.方程表示()A)通过点的所有直线；B）通过点的所有直线；C）通过点且不垂直于x轴的所有直线；D）通过点且去除x轴的所有直线.C （3）k为常数时，下列方程所表示的直线过定点吗？直线是过定点（0，2）的直线束； 直线是过定点（0，2）的直线束；直线表示斜率为2的一系列平行直线. （3）一直线过点，其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求直线的方程.由直线的点斜式方程，得：分析：只要利用已知直线，求出所求直线的斜率即可.则：解：设所求直线的斜率为k,直线倾斜角为 （1）斜率为K，点斜式方程：斜截式方程：（对比：一次函数）（2）斜率不存在时，即直线与x轴垂直，则直线方程为：课堂小结：直线过点共同点：不能表示垂直于x轴的直线(斜率不存在)学案P110例4 解：设直线方程为：y=kx+b例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．一般做法：由已知得：解方程组得：所以:直线方程为:y=x+2方程思想 例2:已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l的方程．将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入,得:即所以直线l的方程为：解：设直线方程为：y=kx+m3.截距式方程 ②截距可是正数,负数和零注意：①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线直线与x轴的交点(a,o)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距3.截距式方程 名称几何条件方程局限性归纳直线方程的三种形式的比较 (1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？(2)每一个关于x,y的二元一次方程都表示直线吗？思考 分析：直线方程二元一次方程(2)当斜率不存在时L可表示为x-x0=0,亦可看作y的系数为0的二元一次方程.(x-x0+0y=0)结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.(1)当斜率存在时L可表示为y=kx+b或y-y0=k(x-x0)显然为二元一次方程. 即：对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？（1）当B0时，方程可变形为它表示过点，斜率为的直线.（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为零,于是方程可化为，它表示一条与y轴平行或重合的直线.结论2:关于x,y的二元一次方程,它都表示一条直线.直线方程二元一次方程 由1，2可知：直线方程二元一次方程定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.定义 在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于x轴：（2）平行于y轴：（3）与x轴重合：（4）与y轴重合：分析:(1)即A=0,B0,C0.(2)B=0,A0,C0.(3)A=0,C=0,B0.(4)B=0,C=0,A0.探究优势：可以表示任何位置的直线. 例把直线L的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.解：化成斜截式方程y=x+3因此，斜率为k=,它在y轴上的截距是3.令y=0得x=－6.即L在x轴上的截距是－6.由以上可知L与x轴,y轴的交点分别为A(-6，0)B(0，3),过A，B做直线,为L的图形. 两条直线的交点几何元素及关系代数表示点A直线l点A在直线l上直线l1与l2的交点是AA的坐标满足方程A的坐标是方程组的解 例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.解：解方程组3x+4y－2=02x+y+2=0∴l1与l2的交点是M（-2，2）x=－2y=2得 (1)若方程组有且只有一个解,(2)若方程组无解,(3)若方程组有无数解,则l1//l2;则l1与l2相交;则l1与l2重合.二、两条直线的交点: 练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.解：解方程组x－2y+2=02x－y－2=0∴l1与l2的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为y=kx把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为y=xx=2y=2得 学案P111变式训练（必须作图）作业：1.2.判断各直线的位置关系，若相交，求交点坐标；第(1)题要求并作图.3.课本3.3ex1